基本不等式求最值技巧
一. 加0
在求和的最小值时，为了利用积的定值，有时需要加上零的等价式。

例1. 已知，且，求的最小值。

解：因为，所以，所以，，所以。

式中等号当且仅当时成立，此时。

所以当时，取最小值。

例2. 设，且，求的最小值。

解：因为，，所以，所以，且。

所以
式中等号当且仅当时成立，此时。

将它代入
中得。

所以当时，取最小值。

2. 乘1
在求积的最大值时，为了凑出和的定值，有时需要乘上1的等价式。

例3. 已知，且，求xyz的最大值。

解：因为，且，
所以
式中等号当且仅当时成立，此式可写为，令其比值为t，则，，，把它们代入，解得。

所以当，时，xyz取最大值。

3. 拆式
在运用基本不等式求最值时，为满足解题需要，有时要进行拆式。

例4. 求函数的最小值。

解：因为，所以，
所以
式中等号当且仅当时成立，解得，所以当时，。

例5. 设且，求的最小值。

解：因为，
所以
式中等号当且仅当时成立，此时，所以当时，取最小值3。

4. 拆幂
在求积的最大值时，为了满足和为定值时对项数的要求，有时要拆幂。

例6. 设，求函数的最大值。

解：因为，所以
所以
式中等号当且仅当时即时成立。

所以当时，。

例7. 设，且为定值，求的最大值。

解：因为
所以
式中等号当且仅当时成立，此时。

所以当，取最大值。

5. 平方
在求积的最大值时，有时要凑出和的定值很困难，但积式平方后却容易凑出和的定值。

例8. 设，且为定值，求的最大值。

解：因为，
所以
所以
式中等号当且仅当时成立，此时
所以当时，取最大值。

例9. 已知，求的最大值。

解：因为，所以，
所以
所以。

式中等号当且仅当，即时成立。

所以当时，。