铸铁
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
x 20MPa y 30MPa xy 0 120o
300
20MPa
y
30MPa

x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
Ox
17.5MPa
x
y
2
sin 2
xy cos 2
21.65MPa
例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念 §13–2 平面应力状态分析——解析法 §13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 空间应力状态简介 §13–5 复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言
❖ 铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？
低
)2
2 xy
22.5o x
5 FP S平面
5
42
3
Mz
FP l 4
4 3
2
2
1
1
2 2
1
x1
2
x2
3
3 3
六、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
n
y 1
tg2
0
2 xy x
y
0 X 0
x O y
xy x 1S cos0 x S coso
xy S sin0 0
y O
y
3
主 单元体
x
xy10
x
tg 0
x 1 xy
四、最大切应力
令:d 0 d 1
tg
21
x
2 xy
y
mmainx
± （x
y
2
）2 x2y
y
3
主 单元体
x
y
xy 1
则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。
y
y
证明: 单元体平衡 M z 0
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
z
z
xy x
x
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
A
y
P x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
P
Mx
yx
C
xy
P
S平面
l/2 l/2
解：
20MPa
1 44.14MPa 2 15.86MPa 3 0
40MPa
1
arctg
x 1 xy
y
Ox
10MPa
x 40MPa y 20MPa xy 10MPa
arctg 40 44.14 22.5o 10
max
1
3
2
22.07MPa
1
i,j
x
y
2
(
x
2
y
2.主应力的大小及主平面的方位。
3.最大剪应力。
y
一、任意斜截面上的应力
x 规定： 截面外法线同向为正；
y
xy
绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
x
y
y
xy
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
Fn 0
n
S xScos2 xyScossin
ySsin2 yxSsincos0
y
考虑切应力互等和三角变换，得：
y O
x
y
x
xy
x
图1
y
xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x y
sin202 xy cos200
由此得两个驻点：
01、（ 01
2
）和两个极值：
tg
2
0
2 xy x
x'y' x'
xy
yx
微元平衡分析结果表明：即使同 一点不同方向面上的应力也是各不相
同的，此即应力的面的概念。
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体－－应力状态的表示：
y
yz y
yx
z
z
xz xy x
x
单元体——构件内的点的代表物，是包 围被研究点的无限小的几何 体，常用的是正六面体。
单元体的性质 a、任一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
四、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,
' max
' min
i
2
j
Ox
0
1
4
, 即极值剪应力面与主平 面成450
空间应力状态：
max min
1
3
2
max
1
3
2
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C y
M
xy yx
解：确定危险点并画单元体
yx
C xy
x y 0
xy
Mn WP
求主应力及最大切应力
i j
x
2
y
（ x
2
y
）2
2 xy
y
y
i
j
x
y
2
±（ x
y
2
2
）
2 xy
x
0 0极值正应力就是主应力！
y
xy
Ox
三、主应力大小及方向
(1) i j 0
1 i ; 2 j ; 3 0
(2) 0 i j
1 0; 2 i ; 3 j
(3) i 0; j 0 1 i ; 2 0; 3 j
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 三个主应力中，只有一个主应力不为零的应力状态。
x
x
z z
zx zy
y xz
yz y
xy
yx
x
B
zx
x
xz
x
x
A
§13–2 平面应力状态分析——解析法
y
y
y
xy x
等 价
x
y
xy
x z
Ox
应力状态分析的任务：
1.任意斜截面上的应力。
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）（平面应力状态） 三个主应力中，只有一个主应力为零的应力状态。
碳
铸
钢
铁
扭
拉
转
伸
铸
P
铸
铁 扭
铁
转
压
缩
y'
yx
x'
xy
x'y' x'
xy
yx
切中有拉
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横 截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力。
FS
Mz
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
Ox
2 xy
1 ; 2 0; 3
tg 0
x 1 xy
1 0
45
max
1 3
2
破坏分析
tg2312xxy y 010
主
单元体 xy
yx 10
低碳钢: s 240MPa; s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁: Lb 98~280MPa yb 640~960MPa; b 198~300MPa