椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则12020=+y x ，即442020=+y x 。
设四边形ABCD 的面积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =|0A|×y 0+|0C|∙x 0=2y 0+x 0. 法一:120420=+y x 可设x 0=2cos θ,y 0=sin θ,∴S=2y 0+x 0=2sin θ+2cos θ=22sin(θ+450)≤22,当且仅当θ=450时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
法二: S=2y 0+x 0=200)2(y x +=0202044y x y x ++=≤∙∙+00224y x442020++y x =22，当且仅当2y 0=x 0=2时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0,y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多。
三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 13422=+y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ∆面积的最大值。
分析: 直线l 过x 轴上的一点，故可设直线l 方程为1+=my x可简化讨论和运算，不会出错，认真领会。
解 :设直线AB 的方程为1+=my x ()R m ∈把1+=my x 代入122=+y x 得()964322=-++my y m①显然>∆设A()11,y x ，B()22,y x 则=-⨯⨯=21212y y S 21y y -又因为=+21y y 4362+-m m，=⋅21y y 4392+-m ，=-221)(y y 4)(221-+y y 21y y ⋅=48222)43(33++m m 令233m t+=则,3≥t =-221)(y y tt 148+由于函数tt y 1+=在[)+∞,3上单调递增，所以3101≥+t t 故9)(221≤-y y 即3≤S 故1ABF ∆面积的最大值等于3.点评:解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。
四 构造关于k 的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线l 与椭圆1322=+y x 相交于不同的两点E,F ，求∆OEF （O 为坐标原点）面积的最大值.分析:将∆OEF 的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k 的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。
解析:显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为:y=k(x-3)(k ≠0)代入1322=+y x消去y 整理得(k 2+3)x 2-6k 2x+9k 2-3=0,=∆36k 4-4(k 2+3) (9k 2-3)>0,得0<k 2<83.而S △OEF =|S △OPE -S △OPF |=23|y 1-y 2|=23×|k|×|x 1-x 2|=23|k|()212214x x x x -+=3962492442++-k k k k 令k 2=t,则()83,0∈t ，S△OEF=39624922++-t t t t 再令t+3=m, S △OEF =3241532432-+-m m ,m ∈(3,383),配方易求得t=173时，∆OEF 面积的最大值为23。
点评:利用面积分割，简化运算，注意∆>0是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k 取值范围不能忽视。
五 构造关于b 的函数求最值 例5 已知椭圆122=+y x ，过椭圆上的点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点。
（1）求证直线AB 的斜率为定值2（2）求PAB ∆面积的最大值。
分析:利用(1)结论以b 为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。
解析:（1）略（2）由(1)可设直线AB 的方程为:y=2x+b 代入14222=+y x 得4x 2+22bx+b 2-4=0,()0416822>--=∆b b ,b 2<8. 设A ()11,y x ，B ()22,y x , AB|=()221+()212214x x x x -+=2243b -,点P 到直线AB 的距离d=3b ,⋅=⋅=∴∆b d AB S PAB2121224b -=()16422221+--b ≤2,当且仅当b=±2时取等号,所以PAB ∆面积的最大值是2。
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识， 六 利用垂直关系求四边形面积最值 例6 P,Q,M,N 四点都在椭圆1222=+y x上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF =1λFQ ，MF =2λFN ，且MF PF ⋅=0，求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值。
分析:利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用单调性求最值解析:由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且P Q ⊥MN,直线PQ,MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F(0，1)，故PQ 方程为y=kx+1.代入椭圆1222=+y x 中得(2+k 2)x 2+2kx-1=0, 设P()11,y x ，Q ()22,y x 则|PQ|=21k +()212214x x x x -+=()222122kk ++①当k ≠0时，MN 的斜率为-k1，用-k1代换k 可推得|MN|=()()()21212122k-+-+，故四边形面积S=21|PQ||MN|=222122524kk k k ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++，令u=k 2+21k ,得S=()()u uu 251252412+++-=，因为u=k 2+21k ≥2，当k=±1时，u=2,S=916且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S<2，②当k=0时，MN 为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2，S=21|PQ||MN|=2，综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为916。
点评:本题综合考查了向量共线、垂直，弦长求法，直线与椭圆的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。
分类讨论思想及综合运用知识解题能力。
7，已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。
(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值。
解析:(1)由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),A ()11,y x ，B ()22,y x ,由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx-4=0,显然∆=16k 2+16>0.∴x 1+x 2=4k, x 1x 2=-4,由x 2=4y ，得y=41x 2, ∴y '=21x, ∴直线AM 的斜率为k AM =21x 1. 直线AM 的方程为y-y 1=21x 1(x-x 1),又x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②-①并据x 1≠x 2，得，点M 的横坐标x=21( x 1+x 2).即A,M,B 三点的横坐标成等差数列。
（2）由①②易得y=-1,∴点M 的坐标为(2k,-1) (k ≠0).∴k MF =kk 122-=-,则直线MF 的方程为y=k1-x+1,又|AB|=21k +()212214x x x x -+=4(k 2+1).用k1-代换k 得|CD|=()211k-+()212214x x x x -+=4(21k +1), k MF k AB =-1, ∴A B ⊥CD.∴S ABCD =21|AB||CD|=8(21k +1) (k 2+1)=8(k 2+21k +2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD 面积的最小值我32.。