考点5 复数及其运算题型1 复数的概念及运算例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________； `(4)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p解析 1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+故选B.【解题技巧】若复数i z x y =+，则=z 变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π24,234)4543(∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故)cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。

变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（ ）A． B． C ．(1,3) D ．(1,5)解析：代数法.)2,0(12∈+=a a z 在上单调递增，得)5,1(∈z 。

故选B 。

变式3 已知z C ∈，且|22|1z i --=，则|22|z i +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5题型2 复数的几何意义例3 （2017北京理2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞，解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B. 【解题技巧】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.变式1.复数()()i 1i i z =⋅+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：B变式2.已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：D变式3．在复平面内，复数2i 1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 解析：D【高考真题链接】1.（2015天津理9）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 解析 ()()()12i i 212i a a a -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.2．（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5．3．（2015湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1-解析 依题意可得：6074151+332i =i =i =i i=i ⨯⋅-，故选A.4.（2015全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．A.1-B. 0C.1D. 25.(2015山东理2）若复数z 满足i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 解析 因为i 1iz =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-．故选A ． 6．（2016山东理1）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）.A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --解析 设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=3i 32i a b +=-，所以1,2a b ==-，即12i z =-.故选B.7．（2016天津理9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b的值为_______. 解析 ()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，则2a b =. 8（2107山东理2）已知a ∈R ，i是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（ ）.A.1或1-或C.解析由z a =+，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.9.（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab =.10.（2015全国一理1）设复数z 满足1i 1z z +=-，则z =（ ）A ．1 BC．2解析 由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，所以1z =．故选A ． 11.（2015陕西理11）设复数(1)z x yi =-+(,)x y ∈R ，若||1z =，则y x >的概率为（ ）． A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+解析 由||1z =()22111x y =⇒-+=.所以y x >表示所示的阴影部分，所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选D. 12.（2015江苏3）设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． 解析 解法一：设i z a b =+，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+， 从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即222234a b a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2214a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而z ==解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．13.（2015重庆理11）设复数i a b +(),a b ∈R()()i i a b a b +-=________. 解析 由题易得322=+b a ，故322=+b a ，()()22i i 3a b a b a b +-=+=．14.（2017江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．15.（2107全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12 B．2 CD ．2解析 由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C.16.（2015北京理1）复数()i 2i -=（ ）.A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --解析 ()2i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A. 15.（2015福建理1）若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B =（ ）. A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．∅解析 由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-．故选C ．16.（2015湖南理1）已知()21i 1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）.A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --解析 由题意得，2(1i)2i 1i 1i 1iz -===--++.故选D. 17. （2015四川理2）设i 是虚数单位，则复数32i i -=（ ）. A. i - B. 3i - C. i D. 3i解析 依题意可得：3222i i i i 2i i i i-=--=-+=.故选C. 18．（2016全国丙卷2）若12i z =+，则4i 1zz =-（ ）. A.1 B.1- C.i D.i -解析 因为25,z z z ⋅==所以4i 4i i 14zz ==-.故选C. 19．（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）.A.415x -B.415xC.420i x -D.420i x20.（2107全国2卷理科1）3i 1i+=+（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 解析 ()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D.21.（2015安徽理1）设i 是虚数单位，则复数2i 1i-在复平面内所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解析 ()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限．故选B ．22．（2016北京理9）设a ∈R ，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.解析 由题意可得()()1i i 1(1)i a a a ++=-++是实数，所以10,1a a +==-.。