点b1 b2 b3 ….， bn ,
则
f(z )d zf(z )d zf(z )d zf(z )d z
l
l1
l2
l3
2 i [s R ( b 1 f ) e R s( b 2 f e ) R s( b 3 f e ) ]
n
2i Resf(bj) 称为留数定理
j1
如何求a-1？
判断分母零点的级数来判断函数极点的阶数
精品课件
例1： f(z)1/(zn1) 求 Resf(1)
解： Rse(f1)li(m z1)f(z) z 1 lim (z1)/(zn1) z 1 lim1/(nzn1) z1 1/ n
精品课件
例2：确定函数 f(z)(z2i)/z(54z3)的极点，求留数
若 f (z) P(z) Q(z)
Res
f(z)zl im z0(zz0)
P(z) Q(z)
lim
zz0
z z0 Q(z)
P(z)
P(z0) Q '(z0)
精品课件
若z0为f(z)的m阶极点
f(z) (z a z m 0 )m (z a zm 0 )1 m 1 za 1 z0 a 0 a 1 (z z0 )
a 1
1 5!
所以： Resf(0) 1
精品课件
5!
由：f(z) (z a z m 0 )m (z a zm 0 )1 m 1 za 1 z0 a 0 a 1 (z z0 )
仍看作6阶极点，故：
Rse(f0)(6 11)!lz iz0m d d55z[z6zzs6izn ]
1 5!
lim1
i(2n1)(2k1)
e 2n
zz0 2n
lz im z0 21neie(2i(k2k1)1)/2n
精品课件 21nei(2k1)/2n
无穷远点的留数
设函数f(z)在圆环域R<|z|<+∞内解析，l为这圆环
域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，那么积分
1
2i
l
f
(z)dz
的值与l无关，我们称此定值为f(z)在∞点的留数，记作
解：
z2i z54z3
z3(zz22i4)
z3(zz2i)2(iz2i)
1 z3(z 2i)
Rse (f2 i)li(m z2 i)f(z) z 2i
lim
z2i
1 z3
1 8i
i 8
Rsef(0)lz i0m (3 11){ !dd22z[z3f(z)]}
lim1(d2 z0 2! dz2
1 ) z精2品课i件
k
l0(z 精品z课0件)kdz
l l0
z0
由
1
2
i
l
z
1
dz
0 (l不包围
)
1 (l包围)
1 (z)ndz0
2i l
n1
l
f(z)d a1
2iRsef(z0)
l l0 z0
a1Rsef(z0) a-精1称品课为件 f(z)在奇点z0的留数
若l所围区域包围n个奇
lim 1 1
zz0 2 z 2 2 1 2
z
1
z2
1 2z
dz
2iRsef(z0)
i
1 2
精品课件
1
例4： f (z) e z
求 Resf(0)
解：
1
ez
11z21!z12
Resf(0)1
精品课件
例5：求函数
f
(z)
zsinz z6
在z=0处的留数
设： P(z)zsin z
Q(z) z6
若z0为单极点
f(z)za1z0a0a1(zz0)
l2 b2
l3
l l1 b1
b3
精品课件
f(z)za 1 z0a0a1(zz0) ( z z 0 )f( z ) a 1 a 0 ( z z 0 ) a 1 ( z z 0 ) 2
lz izm 0(zz0)f(z)a1 非零的有限值 Resf(z0)
lim[ z0 (z
1 2i)3
]
i 8
例3：计算回路积分
1 dz
z 1 z2 2z
(01)
解： 被积函数的奇点为
z 1 12
1 1 2 1 (1)(1) 1(1) 1
在单位圆 z = 1
内
1 12 1 1 2 1 1
在单位圆
z = 1 外
精品课件
1
Rsef(z0)lz izm 0(z22z)'
P(0) 0
P '(0 )(1co z)|zs 00
P''(0)sizn |z00 P '''(0 )co z|z s 0 10
所以z=0是P(z)的三级零点，从而是f(z)的三阶极点
Rse(f0)(3 11)!lz iz0m d d22z[z3zzs6izn ]
展开法： z z s6 iz nz 1 6[z (z3 1 !z35 1 !z5 )]
第四章 留数定理
§4.1 留数定理 §4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
精品课件
§4.1 留数定理
考虑积分 f (z)dz l
若l所围区域解析，则
f (z)dz0
l
若l所围区域包围一个奇
点z0 ，展开f(z)，则
f(z) ak(zz0)k
k
f(z)dz f(z)dz
l
l0
l
f(z)dz ak
( z z 0 ) m f( z ) a m a m 1 ( z z 0 ) a 1 ( z z 0 ) m 1 a 0 ( z z 0 ) m
lim(z[z0)mf(z)]非 零 有 限 值
zz0
Rse (fz0)z l iz0(m m 1 1 ){ !d dm m z 1 1[z(z0)mf(z)]}
这就是说， f(z)在∞点的留数等于它在圆环域
R<|z|<+∞内洛朗级数中z-1的系数变号。
定理：
如果函数 f(z)在复平面内只有有限个孤立奇点
，那么f(z) 在所有各奇点（包括∞ 点）的留数的总和
：
1
Resf()
f (z)dz l是顺时针方向
2i l
作变换t=1/z，则：f(z)f(1/t)(t)
dz
dt t2
21 il f(z)d z21 il(t)d t2t 精品课件
1
2i
(t)
l
dt t2
1
2i
l aktk
k
dt t2
1
2i
l aktk2dt a1
k
所以： Res()a1
精品课件
例6：求函数
f
(z)
1 1 z2n
的留数
解：先求奇点 令： 1z2n 0
z2n 1
zn iei(2k 1)/2
所以： z 0 e i(2 k 1 )/2 n (k 0 ,1 ,2 ,.2 n . 1 .),
为函数f(z)的单极点
1
1
Rse (fz0)lz iz0(m 1z2n) ' lz iz02 m n2n z 1