高等数学试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=
x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x
2．()002lim 1cos t
t x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）
.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1
x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）
A.不连续
B.连续但左、右导数不存在
C.连续但不可导
D. 可导
5．设C +⎰2
-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）
2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=
8．arctan lim _________x x x
→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2
g C(g)=9+800
，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.
12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.
13.
设2ln 2,6
a a π==⎰则___________.
14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D
D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设1x
y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.
17.求极限0ln cot lim ln x x x
+→
18.求不定积分
.
19.计算定积分I=0
.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分20
sin x xdx π
⎰ 23.将二次积分⎰⎰ππ=0
x 2dy y y sin dx I 化为先对x 积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题9分） 24.已知曲线2y x =，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线2
y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V .
六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，ln(1x x
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A
4．答案：C
5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：13,44
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7．答案：1a q -
8．答案：0
9．答案：14
10
11．答案：（1，2）
12．答案：3
12
x Cx -+ 13．答案：ln 2a =
14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
15．答案：()2114
e --
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 答案：()1ln 1x x dx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
17．答案：-1
18
C 19. 答案：24a π
20. 答案：2
'
'x
y z z 22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21
．答案：0020V r h r π=
== 22．答案：2
4π
23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
24. 答案：（1）y=2x-1（2）
112，30π （2）
所求面积()13
1
22001121(124
312y S dy y y ⎡⎤+==+-=⎢⎥⎣⎦⎰
所求体积()12220
111325630x V x dx ππππ
π=-⋅⋅⋅=-=⎰
六、证明题（本题5分）
25．证明：
()ln(1
'()ln(ln(ln(0
1
'()ln(0
f x x x f x x x x x x f x x =+∴=++=+=>∴+>∴=+>
故当0x >时()f x 单调递增，则()(0),f x f >即
ln(1x x >
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