随机状态空间模型：

xk 1 yk

Axk Cxk
wk vk
A：状态矩阵，表示系统内部状态的联系 C：输出矩阵，表示输出与系统内部状态的关系 Wk：环境干扰和建模的不精确而引起的过程噪声 Vk：传感器的不精确或环境对传感器的影响引起的测量噪声
子空间基本原理
正交投影
ΠB BT (BBT ) B A/B AΠB ABT (BBT ) B
Xˆ i

S1/2 1
V1T
同理可得Oi 1
Y f
Y p
Γi1Xˆ i1
卡尔曼滤波估计的状态方程

Xˆ i1 Yi/i



A C
Xˆ
i


wi vi


A C



Xˆ i1 Yi/i
Xˆ

i
特征值分解
A 1, diag(i ),i 1,2,
从统计概念而言，即选取了出现频率较高的数 值，出现频率较高的数值其可信度较大，稳定 性较好。
稳定图
系统阶次n+1 fn+1,ξn+1,Φn+1
系统阶次n fn, ξn, Φn
|fn+1-fn|<f的评判标准 是
|ξn+1-ξn|<ξ的评判标准 是
|Φn+1-Φn|<Φ的评判标准 是
完全稳定
否 不稳定
不同的系统阶次对应一个余弦值 在系统阶次顺序增长的过程中，该余弦值会有一个
大的跳跃 该处跳跃所对应的系统阶次认为是真正系统阶次 由于存在噪声的影响，高于真正系统阶次的余弦值
并不为零，而是跟零比较接近的一个值 研究表明该方法对低阶系统有较好的判断，对高阶
系统效果不佳，奇异值与阶次关系曲线比较平滑， 没有明显的跳跃，难以判定系统阶次
否 不稳定
否 不稳定
试验验证
试验模型全长26.625m 跨径组成
5.1875+16.25+5.1875m 主塔高5.1816m，边墩
高1.7755m，桥面宽 2.9375m 模型除承台采用现浇 混凝土，塔柱和箱梁 均采用钢材。
试验验证
一次性采集
•足够的传感器 •7个采集点 (Case I)
连续与离散的关系
A e Act
ci ,ci
ai
ci

ln i
t
bij
ci ,ci ii i
1 i2 j
i ai2 bi2 (rad / s)
fi
ai2 bi2 / 2 (HZ) i
ai ai2 bi2
振型：
C
e B u( (k1)t Ac ((k1)t )
0
c
)d
xk1 Axk Buk
同理，输出方程即也可以写成
yk Cxk Du k 离散的空间状态模型
xykk1CAxxkkDBuukk
随机状态空间模型
测试必然存在噪声干扰
过程噪声wk 测量噪声vk
离散的空间状态模型可以写成

xk 1 yk
Axk Cxk
Buk Duk
wk vk
随机状态空间模型
uk
B
wk
xk+1
xk
+
△
A
wk
yk
C
+
D
wk
滞后
xk+1
xk
+
△
C
A
vk yk
+
结构振动的状态空间模型
••
•
M q(t) C q(t) Kq(t) F(t) B2u(t)

Q1T QT2
T

R11
1
0 T
R11

R 21
R 22 I R11
0 T R11
0 I R11
0 T 1 R11
0

Q1T QT2


R
RT
21 11
(R11R
T
11
)
1
R
QT
11 1
Y
Oi 1

f
Y

R 41
p
R 42
Q1T
R Q R Q T
43
2
T [l(i1) 1:2li,1:l(i1)] [1:l(i1),:]
Q3T
卡尔曼滤波
SSI方法是通过卡尔曼滤波估计，由输出矩阵得到系 统状态的。
将状态向量������������的卡尔曼滤波估计写成���ො���������
方 程
q(t)
引入状态向量
x(t) • q(t)
y(t) Cc x(t) Dcu(t)
状态方程-离散
实际采样是离散的，连续状态空间模型不 符合实际情况
应将连续状态空间模型转换成离散状态空 间模型。
假设连续状态空间模型存在初始条件：当 时t=t0，x(t)=x(t0) 。那么状态变量 的通解可 以求得：
卡尔曼滤波
Oi
Yf
Yp
Φ Φ Y [Yf,Yp ] [Yp,Yp ] p
CiLi1Yp
Oi

Ci Li1Yp

Γ
i
Δ
c i
Li1Yp

Γi Xˆ i
Oi USVT U1
U2

S1 0
0 0

V1T V2T


U1S1V1T
Γi U1S11/2
环境激励、完好状态
试验环境 采集方法 试验目的
多次采集
•以某些点为参考点 •移动其余传感器至不 同位置 •多次测量到所有测点 数据 •四次采集(Case II) •五次采集(Case III)
卡尔曼滤波
以上几式写成如下形式，即可得到输出数据与状态 向量之间的关系
���ො��������� = Δ������������L−������1
������0 ������1 … ������������−1

���෠��������� = Δ������������L−������ 1
稳定图
稳定图确定系统阶次的方法假定模型有不同的 阶次，得到多个不同阶次的状态空间模型，对 每个模型进行模态参数识别，将得到的所有模 态参数绘制在稳定图上，以确定模态阶次和模 态参数
稳定图包含统计思想，在未知准确系统阶次前 提下，选择一定范围进行多次重复计算，以计 算结果稳定性选取所得模态参数

yi j2 yi j1


1 j
Y0,i1 Yi,2i1

1 j

Yp Yf


yi 1
yi2

yi j



y2i 1
y 2i

y2i j2

y0 y1 y j1
R 22

Q1T QT2

B R11
0

Q1T
Q
T 2

A/B ABT (BBT ) B



R 21
R 22

Q1T
Q
T 2

Q1T
Q
T 2
T

R11

0
T

R11
0

Q1T QT2
稳定图定阶
随机子空间方法模态参数识别过程中，唯 一需要确定的参数为系统阶次。
准确的系统阶次往往是未知的，在识别系 统的过程中估计系统阶次是关键的一环。
系统阶次的估计主要有两种方法：
奇异值的跳跃性 稳定图
奇异值跳跃
根据子空间的原理，矩阵奇异值分解以后所得的奇 异值可认为是将来输出行空间对过去输出行空间投 影过程中的主对角余弦值

R
21R
T 11
(R
T
11
)
1
(R
11)
1
R
QT
11 1

R
QT
21 1
C


B A



R11 R 21
0 Q1T
R 22
Q
T 2

0

Q1T QT2

投影矩阵
l(i 1) R11 0
H 0,2i 1 QR分解
l R 21 R 22
x(t) e Ac (tt0 ) x(t0 )
t
e
0
Ac
(t

)
Bc
u
(
)d
t t0
状态方程-离散
设时间间隔为Δt，离散的时间序列为0、Δt、2Δt，∙∙∙，
(k+1)Δt，∙∙∙，把t=(k+1)Δt，t0=kΔt代入上式可得：
x((k 1)t) e Act x(kt)

yi 1
yi2

yi j



y
2i
1
y 2i

y 2i
j2

同一矩阵的投影
C


B A



R R
11 21
0 R 22

Q1T QT2
,