练习题1：质点运动学和动力学
一、判断题（每题2分，共20分）
1.物体做匀速圆周运动，由于速率大小不变，所以加速度为零。
（×）
2.质点的位置矢量方向不变，质点一定作直线运动。
（√）
3. 物体匀速率运动，加速度必定为零。
( × )
4. 对于一个运动的质点，具有恒定速率，但可能有变化的速度。
( √ )
5. 物体作曲线运动时，一定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。
( √ )
6．质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
（√）
7．一个系统如果只受到保守内力的作用，此系统机械能守恒。
（√）
8．质量为 M 的木块静止在光滑水平面上，一质量为 m的子弹水平地射入木块后又穿出木块，则在子弹射穿木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒。
（√）
9. 子弹分别打在固定的软和硬的两块木块内，则木块受到的冲量相同，但硬木块的平均作用力大。
（√）
10. 一对内力作功之和必为零。
（×）
二、选择题（每题2分，共20分）
1．当物体的加速度不为零时，则：( B )
（A）对该物体必须做功；（B）对该物体必须施力，且合力不会为零；
（C）它的速率必然增大；（D）它的动能必然增大。
2. 质点在O−xy平面内运动，其运动方程为r⃗=2ti⃗+(4−t2)j⃗ (SI)，则当t=2S时,质点的速度是 ( A )
(A) (2i ⃗−4j ⃗)m s ⁄ (B) (−2i ⃗)m s ⁄ (C) (−4j ⃗)m s ⁄ (D) (2i ⃗+4j ⃗)m s ⁄
3、下列几种运动形式，哪一种运动是加速度矢量a ⃗⃗保持不变的运动？（ C ）。
A 、单摆运动；
B 、匀速度圆周运动；
C 、抛体运动；
D 、以上三种运动都是a ⃗⃗保持不变的运动。
4. 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ）
(A) 切向加速度一定改变，法向加速度也改变；
(B) 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变；
(C) 切向加速度可能不变，法向加速度不变；
(D) 切向加速度一定改变，法向加速度不变。
5. 质点作半径为R 的变速圆周运动的加速度大小为（ D ）
(A)/dv dt (B)2/v r (C)2//dv dt v r + (D)
6. 质点系统不受外力作用的非弹性碰撞过程中 ( C )
(A) 动能和动量都守恒； (B) 动能和动量都不守恒；
(C) 动能不守恒，动量守恒； (D) 动能守恒，动量不守恒。
7. 质点的内力可以改变 ( C )
(A) 系统的总质量； (B) 系统的总动量； (C) 系统的总动能； (D) 系统的总角动量。
8. 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，则 ( B )
(A) 它的加速度方向永远指向圆心，其速率保持不变；
(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加；
(C) 它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心；
(D) 它受到的合外力大小不变，其速率不断增加。
9. 作匀速圆周运动的物体运动一周后回到原处，这一周期内物体（ C ）
(A) 动量守恒,合外力为零;
(B) 动量守恒，合外力不为零；
(C) 动量变化为零，合外力不为零， 合外力的冲量为零；
(D) 动量变化为零，合外力为零。
10. 子弹射入光滑水平面上静止的木块而不穿出，地面为参考系，下列说法中正确的是（ C ）
(A)子弹的动能转变为木块的动能；
(B) 子弹与木块系统的机械能守恒；
(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功；
(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热。
三、计算题（每题10分，共60分）
1. 质点在oxy 平面内运动，其运动方程22(6)r ti t j =--（SI ）, 求（1）质点的轨迹方程；（2）t=3 s 时速度。
(1)将运动方程矢量写成分量形式：2
2,(6)x t y t ==--，消去参数t ，得质点轨迹方程：2
64x y =-+
(2)对运动方程求导得速度表达式：22v i tj =+，t=3时，26v i j =+，大小v =，与x 轴成角度arctg 3。
2. 一质点直线运动，速度为22v t t =-（SI ），初始位置坐标为x 0求质点运动的轨道和加速度.
解：对速度表达式积分下223122d 23
x t t t t t c =-=-+⎰，其中，t=0时x=x 0，的c=x 0，故质点运动 轨道为2230122d 23
x t t t t t x =-=-+⎰。
对速度表达式求导得加速度14t α=-。
3.一质点沿半径为1 m 的圆周运动，它通过的弧长s 按s ＝t 2＋2的规律变化.问它在2 s 末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？
解：对弧长表达式求导，得圆周运动的切向速度大小为v =2t m/s ，为匀加速圆周运动。
2s 末的速率v =4 m/s 。
对切向速率求导，得切向加速度大小t α=2 m/s 2，任何时间内切向加速度大小保持不变，方向沿运动的切线方向。
2s 末法向加速度大小22
4161
n v R α=== m/s 2。
方向指向圆心。
4.一质量为10 kg 的物体沿x 轴无摩擦运动，t=0时物体静止于原点。
(1)若物体在力F=3+4t(N)的作用下运动了3 s ，它的冲量增为多大？（2）物体在力F=3+4x （N ）作用下移动了3 m ，它的速度增为多大？
解：(1)根据冲量定义d I F t =⎰，3秒内冲量增量为3323
000
d 34d [32]27I F t t t t t ==+=+=⎰⎰ kg ·m/s 。
(2) 在力的作用下运动3m ，做功3
2300Fd 34d [32]27W x x x x x ==+=+=⎰⎰ J. 因为物体时从零开
始运动故力做功等于其动能增加，21272W mv == J ，则：5v =m/s
5.大炮在发射时炮身会发生反冲现象。
设炮身的仰角为θ, 炮弹和炮身的质量分别为m 和M, 炮弹在离开炮口时的速率为v, 若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力, 求炮身的反冲速率。
解：设x 轴沿水平祥右，根据动量守恒定律得
所以炮身的反冲速率为
6.如图所示一绳长为L 的单摆，A 端固定，可在竖直平面内摆动，一小钉 B 固定在与竖直平面平行的墙面上。
摆球自摆线水平位置C 释放,恰能绕B 做圆周运动,问B 与A 的距离d 是多少? 解 设BD=R,由分析可得摆球和地球组成的系统机械能守恒。
圆周运动
M v m v '+=cos θ0'=-v mv M cos θR mg mv mgl E 2221+=R v m mg E 2=⇒gR
v E =l R 52=l R l d 5
3 =-=∴
附加题（每题10分，共20分）
7.质点在oxy 平面内运动，其运动方程x=2t+5,
12232y t t -=+- (SI)。
（1）写出质点位置矢量表达式；（2）计算t=4s 时的速度和加速度。
解：(1)位置矢量表达式：21(25)(32)2
r t i t t j =+++-。
(2)对未知矢量求导得速度表达式：2(3)v i t j =+
+，t=4s 时，27v i j =+，大小v =，方
向与x 轴成角度27
arctg 。
再对速度求导，得质点加速度j α=，大小为1m/s 2，方向沿y 轴。
8.质量为M =1.5 kg 的物体，用一根长L=3 m 的轻质细绳悬挂在天花板上，有一质量为m =10 g 的子弹以v 0=500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹速度为v =50 m/s ，设穿透时间极短。
求（1）子弹刚穿出时绳子的张力N 大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：(1)根据动量定理，子弹穿出物块过程中子弹和物块组成的系统动量守恒（设子弹穿出时子弹和物块的速度分别为12,v v ），则
01223mv mv Mv v =+⇒= m/s ，
根据受力分析和圆周运动法向加速度公式：
2
18v N Mg N L
-=⇒= N 。
(2)根据动量定理，子弹受到的冲量等于其动量变化：
104.5
I P mv mv
=∆=-=- kg·m/s，
即：动量变化大小为4.5 kg·m/s，方向与子弹运动方向相反。