2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校 A 专业对视力要求不低于，则该班学生中最多 有 ▲ 人能报考A 专业．5． 袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和 是奇数的概率为 ▲ ．6． 执行如图所示的算法，则输出的结果是 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y k k -=-频率组距视力（第3题）US ≥2S+log 2MSn+1n Mn+1n2nS是否输出S 结束开始（第6题）的一个焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 现用一半径为10 cm ，面积为80cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9． 平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ．10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆22223310x y mx my m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AFBF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ．14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．（第16题）AB16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离 是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ． （1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P作x 轴的BCAl 3l 2l 1 图1 BCl 3l 2l 1 图2A垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ =．（1）求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； （2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别 为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）；② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，． （1）设数列{}na 其前n 项和为n S ，1n n nSb a =-，*n ∈N ．① 若25a =，540S =，求2b 的值； ② 若数列{}nb 为等差数列，求n b ；（2）求证：数列{}n a 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e x f x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应．．．．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 、CD 的延长线交于点E ． 求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M 把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（为参数）的右焦点，求实数m 的值．ABFC DE（第21—A 题）D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设123a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k cξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数． （1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33；225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512log log log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=． 8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =． 所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=．9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221pm =+-(2221k mk -=+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-， 所以()tan tan 2tan tan 1tan tan 111B C A B C B C +-=-+===---．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AFBF ≤(AFBF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时， 上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A ==． ……3分 在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，()2226254522c c+-=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 445A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分 在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点．因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-．……2分 因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ=，则cos θ=，B CAl 3l 2 l 1图1D E所以边长1cos AB θ==． ……6分 （2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ． 设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=， 列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ，0()f θ=……12分 答：（1）边长AB ；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分 （2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，BCAl 3l 2l 1 图2 DE当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，， 则O 到AB的距离d =AB ==． ……11分 由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-， ……13分于是AB CD ，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分 此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分 （2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++， 所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，． 因为()e xf x '=，所以000e e 1x x kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e xm x=． 令2e ()xt x m =- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的，当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-，令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞， 则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->． 所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->， 所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->，所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->，所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立，所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点． 所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分 （3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210x x ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+． 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++． 因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0x ϕϕ>=， 所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以EAD BCD ∠=∠． …… 2分 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分 又BAC EAF ∠=∠， …… 6分 BAC BDC ∠=∠， …… 8分所以EAD EAF ∠=∠，即AE 平分DAF ∠． …… 10分 D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，， 由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， …… 5分 代入直线l ：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分 所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l 化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分 因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分 而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. …… 10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c 719． (3)分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，，于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． …… 8分 所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=． ……10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。