(1)利用尺规作图，确定当 PA + PB 最小时 P 点的位置(不写作法，但要保留作图 痕迹). (2)求 PA + PB 的最小值.
【考点】圆，最短路线问题． 【分析】(1)画出 A 点关于 MN 的称点 A ,连接 A B,就可以得到 P 点 (2)利用 ∠AMN = 30° 得 ∠AON=∠ AON =60°，又 B 为弧 AN 的中点 ,∴∠BON=30°， 所以∠ A ON=90°，再求最小值 2 2 ． 【解答】解：
20（ 湖北黄冈）．已知：如图，MN 为⊙O 的直径，ME 是⊙O 的弦，MD 垂直 于过点 E 的直线 DE，垂足为点 D，且 ME 平分∠DMN． 求证：（1）DE 是⊙O 的切线； （2）ME2=MD•MN．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质． 【分析】（1）求出 OE∥DM，求出 OE⊥DE，根据切线的判定得出即可； （2）连接 EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的 判定得出即可．
考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数
27（ 甘肃白银）．如图， AN 是 M 的直径， NB / / x 轴， AB 交 M 于点 C ．
（1）若点 A 0, 6 , N 0, 2 , ABN 300 ，求点 B 的坐标； （2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是 M 的切线． 解：（1）∵A 的坐标为（0，6），N（0，2） ∴AN=4， 1分 ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， 2分 ∴由勾股定理可知：NB= 4 3 ， ∴B（ 4 3 ，2） 3分 （2）连接 MC，NC 4分 ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°， 5分 在 Rt△NCB 中，D 为 NB 的中点， ∴CD= NB=ND， ∴∠CND=∠NCD， 6分
1 BD,BDC 30 2 180 150 15 2
ABD 150，AEB 90 CBE 15，ADB
AE AD
（3）当 D 在 C 左侧时，由（2）知
CD AB , ACD BAE , DAC EBA 30
在 Rt IBE 中， BE 2 EI 2
BE 2 CD

2 AE 2 AE 2CD 2

考点：圆的相关知识的综合运用 25（ 贵州六盘水）.如图， MN 是 ⊙O 的直径， MN = 4 ，点 A 在 ⊙O 上，
∠AMN = 30° ， B 为 AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点.
圆 压轴综合题专题汇编
24（ .北京）如图， AB 是 O 的一条弦， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC OA 于点 C ，过点 B 作 O 的切线交 CE 的延长线于点 D .
（1）求证： DB DE ； （2）若 AB 12, BD 5 ，求 O 的半径. 【解析】 试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结 论；（2）由已知条件得出 sin∠DEF 和 sin∠AOE 的值，利用对应角的三角函数 值相等推出结论. 试题解析：（1）证明：∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.
【解答】证明：（1）∵ME 平分∠DMN， ∴∠OME=∠DME， ∵OM=OE， ∴∠OME=∠OEM， ∴∠DME=∠OEM， ∴OE∥DM， ∵DM⊥DE， ∴OE⊥DE， ∵OE 过 O， ∴DE 是⊙O 的切线；
（2）
连接 EN， ∵DM⊥DE，MN 为⊙O 的半径， ∴∠MDE=∠MEN=90°， ∵∠NME=∠DME， ∴△MDE∽△MEN， ∴ = ，
（1）求证： CAB 450 ； （2）若直线 l 为 O 的切线， C 是切点，在直线 l 上取一点 D ，使 BD AB, BD 所在的直线与 AC 所在的直线相交于点 E ，连接 AD ． ①试探究 AE 与 AD 之间的数量关系，并证明你的结论； ②
EB 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． CD
BF l BD 2 BF
四边形 OBEC 为矩形
BDF 30
AB 2 BF
DBA 30，BDA BAD 75
CBE 15，CEB 90 15 75 DEA
ADE AED, AD AE
②当 ABD 为钝角时，如图所示，同样， BF
1 2
y A N D M D N D O D BA N x D
C
∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC． ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即 MC⊥CD． ∴直线 CD 是⊙M 的切线． 8分 7分
, AB 2 ，连接 AC ． AC BC 25（ 广东广州）.如图 14， AB 是 O 的直径，
CAD BAE , AC CD 1 AB AE 2
AE 2CD, BA BD, BAD BDA 15
IBE 30 ,
在 Rt IBE 中， BE 2 EI 2
BE 2 CD
2 AE 2 AE 2CD 2

当 D 在 C 右侧时，过 E 作 EI AB 于 I
【解析】 试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心 角的一半；（2）①等角对等边；②
（2）①如图所示，作 BF l 于 F 由（1）可得， ACB 为等腰直角三角形.
O 是 AB 的中点. CO AO BO ACB 为等腰直角三角形.
又 l 是 O 的切线， OC l