课时规范练13　函数模型及其应用一、基础巩固组1.某产品的总成本y (单位:万元)与产量x (单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x 2(0<x<240,x ∈N *),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台2.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为( )A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元3.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t 内的路程为s=t 2米,那么,此人( )12A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米4.某企业生产A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B 两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.6.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿千瓦时.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?〚导学号21500519〛二、综合提升组7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以(1+1x) 30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=4,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.8.(2017江苏无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.〚导学号21500520〛9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?三、创新应用组10.(2017江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.〚导学号21500521〛课时规范练13　函数模型及其应用1.C　设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.2.B　由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,(58+x +70-x 2)2当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .3.D 已知s=t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t 2-6t+25=(t-6)2+7.121212当t=6时,d 取得最小值7.4.解 (1)设A,B 两种产品都投资x 万元(x ≥0),所获利润分别为f (x )万元、g (x )万元,由题意可设f (x )=k 1x ,g (x )=k 2,x 根据题图可得f (x )=0.25x (x ≥0),g (x )=2(x ≥0).x (2)①由(1)得f (9)=2.25,g (9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).9②设B 产品投入x 万元,A 产品投入(18-x )万元,该企业可获总利润为y 万元,则y=(18-x )+2,0≤x ≤18.14x 令=t ,t ∈[0,3 ],x 2则y=(-t 2+8t+18)14=-(t-4)2+14172.故当t=4时,y max ==8.5,172此时x=16,18-x=2.所以当A,B 两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.5.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12)t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.(12)1-a则y={4t ,0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得t ≤5.116≤因此服药一次后治疗有效的时间为5-(h).116=79166.解 (1)由题意可知x 的取值范围为10≤x ≤90.(2)y=5x 2+(100-x )2(10≤x ≤90).52(3)因为y=5x 2+(100-x )2=x 2-500x+25 00052152=,152(x -1003)2+50 0003所以当x=时,y min =1003500003.故核电站建在距A 城 km 处,才能使供电总费用y 最少.10037.解 (1)由题意知p (x )=f (x )g (x )=4(104-|x-23|)(1≤x ≤30,x ∈N *).(1+1x )(2)由p (x )={4(1+1x )(81+x )(1≤x ≤23,x ∈N *),4(1+1x )(127-x )(23<x ≤30,x ∈N *).①当1≤x ≤23时,p (x )=4(81+x )(1+1x )=4482+2=400,(82+x +81x )≥( x ·81x )当且仅当x=,即x=9时,p (x )取得最小值400.81x ②当23<x ≤30时,p (x )=4(127-x )(1+1x )=4(126+127x -x ).设h (x )=-x ,则有h'(x )=--1<0,127x 127x 2故h (x )在(23,30]上为减函数,则p (x )在(23,30]上也是减函数,所以当x=30时,p (x )min =4=400>400.所以当x=9时,p (x )取得最小值400万元.(126+12730-30)730因为两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.8.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9,令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.9.解 (1)由PO 1=2 m 知O 1O=4PO 1=8 m .因为A 1B 1=AB=6 m,所以四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=A 1PO 1=62×2=24(m 3);13·B 21·13×正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3).所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a m,PO 1=h m,则0<h<6,O 1O=4h.连接O 1B 1.因为在Rt△PO 1B 1中,O 1+P =P ,所以+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).B 21O 21B 21(2a 2)2于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+a 2·h=a 2h=(36h-h 3),0<h<6,13133263从而V'=(36-3h 2)=26(12-h 2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).26333当0<h<2时,V'>0,V 是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V 是单调减函数.33故h=2时,V 取得极大值,也是最大值.因此,当PO 1=2 m 时,仓库的容积最大.3310.解 (1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2×x (90-2x )+2×x (40-2x )=-8x 2+260x ,x ∈(0,20).因为S=-8x 2+260x=-8,(x -654)2+4 2252故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.6544 2252(2)纸盒的体积V=(a-2x )(b-2x )x=x [ab-2(a+b )x+4x 2],x ,b ≤60.∈(0,b2)V=x [ab-2(a+b )x+4x 2]≤x (ab-4x+4x 2)ab =x (3 600-240x+4x 2)=4x 3-240x 2+3 600x.当且仅当a=b=60时等号成立.设f (x )=4x 3-240x 2+3 600x ,x ∈(0,30).则f'(x )=12(x-10)(x-30).于是当0<x<10时,f'(x )>0,所以f (x )在(0,10)内单调递增;当10<x<30时,f'(x )<0,所以f (x )在(10,30)内单调递减.因此当x=10时,f (x )有最大值f (10)=16 000,此时a=b=60,x=10.故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.。