课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用[基础巩固]一、选择题1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )[解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的．[答案] B2．(2018·河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只[解析] 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.[答案] B3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11[解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.[答案] C4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得的一组实验数据如下表所示：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 直线是均匀分布的，故选项A 不符合要求；指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中的函数，基本符合要求．[答案] D5．(2017·湖南、衡阳、长郡中学等十三校联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.3)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年[解析] 设开始超过200万元的年份是n ，则130×(1＋12%)n －2016>200，化简得(n －2016)lg1.12>lg2－lg1.3，所以n －2016>lg2－lg1.3lg1.12＝3.8，所以n ＝2020，因此开始超过200万元的年份是2020年，故选C.[答案] C6．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元[解析] 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤x ≤800，x －800×14%， 800<x ≤4000，11%·x ， x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.[答案] C 二、填空题7.(2016·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短．[解析] 设经过x h ，A ，B 相距为y km ， 则y ＝145－40x 2＋16x2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤298，求得函数的最小值时x 的值为258. [答案]2588．(2017·北京海淀一模)某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为__________．[解析] 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张．[答案] 39．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是__________．[解析] ∵食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤02kx ＋6，x >0且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎨⎧64，x ≤02－12x ＋6 ，x >0当x ＝6时，t ＝8.①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确．故正确的结论的序号为①④.[答案] ①④ 三、解答题10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[能力提升]11．(2017·陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500 C ．y ＝11000(x －50)3＋625 D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)][解析] 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长缓慢，最小值为500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D 由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由y ＝x 3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.[答案] C12．(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟[解析] 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案] B13．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－b t(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e－b t＝18a ，e －b t ＝18＝(e －8b )3＝e －24b， 则t ＝24，所以再经过16 min.[答案] 1614．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20·C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋108003x ＋5－10 ＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． 15．(2017·吉林长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m (1≤m ≤4且m ∈R )克的药剂，药剂在血液中的含量y (克)随着时间x (小时)变化的函数关系式近似为y ＝m ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧104＋x，0≤x <6，4－x2，6≤x ≤8.(1)若病人一次服用3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2克的药剂，6个小时后再服用m 克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．[解] (1)因为m ＝3， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧304＋x ，0≤x <6，12－3x2，6≤x ≤8.当0≤x <6时，由304＋x≥2，解得x ≤11，此时0≤x <6；当6≤x ≤8时，由12－3x2≥2，解得x ≤203，此时6≤x ≤203.综上所述，0≤x ≤203.故若一次服用3克的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．(2)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12x ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋x －6＝8－x ＋10m x －2，因为8－x ＋10mx －2≥2对6≤x ≤8恒成立， 即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，等价于m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－8x ＋1210max,6≤x ≤8.令g (x )＝x 2－8x ＋1210，则函数g (x )＝x －42－410在[6,8]上是单调递增函数，当x ＝8时，函数g (x )＝x 2－8x ＋1210取得最大值为65，所以m ≥65，所以所求的m 的最小值为65.。