2021届高考数学一轮复习 第二章13函数模型及其应用 练案【含解析】A 组基础巩固一、单选择1．现有一组数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01( C ) A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2[解析] 解法一：v 值随t 值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C 符合．解法二：取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 122＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22－12＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C 最合要求．故选C.2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( C )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6(k －9)2＋864(1≤k ≤10，k ∈N )，所以当k ＝9时，获得利润最大，故选C.3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈ 0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( B )A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年[解析] 若2018年是第一年，则第n 年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.4．(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？( A )A ．3617天 B ．3717天 C ．3817天 D ．3917天 [解析] 由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋12)尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．第三天，大鼠打4尺，小鼠打14尺，因此两只老鼠第三天相遇．设第三天相遇时，大鼠打y 尺，小鼠打(0.5－y )尺，则y 4＝0.5－y 14，所以y ＝817，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了8174＝217(天)，所以它们经过2＋217＝3617天可以相遇．故选A.5．(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b ，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为( D )A ．abB ．a ＋b2C.a ＋1b ＋1－12D ．a ＋1b ＋1－1[解析] 设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x ，则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，∴x ＝1＋a 1＋b －1，故选D.6．(2020·云南保山联考)某种新药服用x h 后，血液中的药物残留量为y 毫克，如图，为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日( C )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得320＝4k 1，解得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈(4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧320＝4k 2＋b ，0＝20k 2＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.令f (x )＝240，得x ＝3或x ＝8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 二、多选题7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是( CD )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以14x ≤1100，4x≥100，因此至少洗4次，故选C 、D.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中不一定正确的是( BCD )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面[解析] 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选B 、C 、D.三、填空题9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射出时，t 秒后的高度为x 米，可由x ＝at －5t 2确定，已知射箭2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__180米__.[解析] 由x ＝at －5t 2且t ＝2时，x ＝100，解得a ＝60，所以x ＝60t －5t 2，而x ＝60t －5t 2＝－5(t －6)2＋180，则当t ＝6时，x 的最大值为180米，即弓箭能达到的最大高度为180米．10．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙最为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过__16__min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， 所以e－8b＝12. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24.所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．11．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．小明和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为546.6元．[解析] 依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤x ≤200，0.9x 200<x ≤500，500×0.9＋x －500×0.7x >500，当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168； 当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470. 所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．四、解答题12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t ， 令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即t ＝x 26，所以y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，(构建二次函数) 所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨． (2)由(1)及题意得400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．13．(2020·山东三校联考，21)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x 2＋2，0≤x ≤2，50x1＋x，2<x ≤5，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该珍稀水果树的单株利润为f (x )(单位：元)．(1)求f (x )的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)由已知得f (x )＝15W (x )－20x －10x ＝15W (x )－30x ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧15×5x 2＋2－30x ，0≤x ≤2，15×50x 1＋x －30x ，2<x ≤5＝⎩⎪⎨⎪⎧75x 2－30x ＋150，0≤x ≤2，750x1＋x－30x ，2<x ≤5.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧75x 2－30x ＋150，0≤x ≤2，750x1＋x －30x ，2<x ≤5，＝⎩⎪⎨⎪⎧75x －152＋147，0≤x ≤2，780－30[251＋x＋1＋x ]，2<x ≤5，当0≤x ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝390；当2<x ≤5时，f (x )＝780－30[251＋x ＋(1＋x )]≤780－30×2251＋x·1＋x ＝480，当且仅当251＋x ＝1＋x ，即x ＝4时等号成立．因为390<480，所以当x ＝4时，f (x )max ＝480.答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．B 组能力提升1．(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n ＝x y(x 代表人均食品支出总额，y 代表人均个人消费支出总额)，且y ＝2x ＋475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱 小康 富裕 n n ≥59%50%≤n <59%40%≤n <50%30%≤n <40%2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于( D )A ．贫困B ．温饱C ．小康D ．富裕[解析] 设2018年人均食品支出x 元，则2019年人均食品支出x (1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x ＋475，由题意，有2×92.5%x ＋475＋75＝2x ＋475，∴x ＝500.此时，n ＝92.5%×5002×92.5%×500＋475≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．2．(2020·山西朔州一中期末)设某公司有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(均正常数)，公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产、分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年人创造产值在原有基础上增长了1.2x %，若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( B )A ．15B ．16C ．17D ．18[解析] 依题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *100－x1＋1.2x %t ≥100t，解得0<x ≤503，又因为x ∈N *，所以x 的最大值为16，故选B.3．(2020·湖北省七市高三联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为__10__小时．[解析] 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝50.9＝0.915，∴P ＝P 0e －kt＝P 0(0.915)t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝(0.915)t，解得t ＝10，即需要花费10小时．4．(2020·皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制订一个对开发科研小组的奖励方案：资金y (单位：万元)随收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为y ＝f (x )，试研究这个函数的定义域、值域和y x的取值范围；(2)现有两个奖励函数模型：①y ＝x150＋2；②y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．[解析] (1)y ＝f (x )的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，y x∈(0,0.2]． (2)①不符合要求，②符合要求，理由如下．当y ＝x 150＋2时，y x ＝1150＋2x 的最大值是31150>0.2，不符合要求．当y ＝4lg x －3时，该函数在定义域上为增函数，最大值为9.y x ≤0.2⇔y －0.2x ≤0.令g (x )＝4lg x －3－0.2x ，x ∈[10,1 000]，则g ′(x )＝20－x ln 105x ln 10<0.所以g (x )≤g (10)＝－1<0，即yx≤0.2.故函数y ＝4lg x －3符合公司的要求．。