第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
3． 若()0lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣
⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣
⎦ C ． ()()
01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：
()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D
6．当n →∞时，
1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12
B ．1
C ．2
D ．-2 解：2
211sin lim lim 1,21
1n n k k
n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分）
8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝
⎭ 解：原式()()()112lim
11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12
x x →==+ 10
．n =
解：原式n ≡有理化
32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x
x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+=
且0sin lim 01cos n x x x
→=-,则正整数n = 解：
()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x
→→+⋅= 20420,lim 02
n x n x n x
→<>2,4,n n ∴><
故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分）
14．求0
x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2
x x x x x →-=⋅- 0tan 111lim
lim 222
x x x x x x →∞→=⋅==
16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x
→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形
0cos 21lim cos31
x x x →--等价 ()()2021242lim 1932x x x →-
=-等价 注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x →∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭
-⨯- 49=⋯⋯=
17．求02lim sin x x x e e x x x
-→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x
-→+-- 0000
00lim lim 2sin cos x x
x x x x e e e e x x
--→→++= 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
解： (1) 拆项，111...1223(1)
n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
解： 原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
()20ln 1lim t t t t →-+通分
01101lim 2t t t
→⎛⎫ ⎪-
⎝⎭+0 ()001111lim lim 2112
t t t t t t →→+-===++ 四、证明题（共18分）
21．当x →∞时且
()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞
==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e
→∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()
lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()()()1lim 1u x v x u x x u x ⋅⋅→∞=+⎡⎤⎣⎦
()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕
22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

（1）()3
tan sin 02
x x x x -→等价于 （2）()3
tan 03
x x x x -→等价于 （3）3
sin 6
x x x -等价于()0x → （4）()3
arcsin 06
x x x x -→等价于 证：()30tan sin 1lim 2
x x x x
→- ()3000tan 1cos lim 2x x x x
→⎛⎫ ⎪-⎝⎭
2
302lim 12
x x x x
→⋅
== 当0x →时，3
tan sin 2x x x - ()22003tan sec 12lim lim 13
x x x x x x x →→--= 22
2200tan lim lim 1x x x x x
x →→=== 当0x →时，2
tan 3
x x x - ()03sin 3lim 16x x x x →-021cos lim 12
x x x →-= 20212lim 112
x x x →== 当0x →时，31sin :6x x x - ()
03arcsin 4
lim 16
x x x
x →- 0021lim 122
x x x x →→-== 20212lim 1112
x x
x →==⋅ 当0x →时，31arcsin 6
x x x -等价于 五、综合题（每小题10分，共20分）
23
．求(lim 3x x →∞ 解： 原式
229921x x x x -++
有理化 x =
1
221333x --
-===-+ 24． 已知()22281lim 225
x x mx x n x n →-+=-++，求常数,m n 的值。

解：（1）∵原极限存在且
()22
lim 220x x n x n →⎡⎤-++=⎣⎦ ()22
lim 80,4280x x mx m →∴-+=-+= 212,6m m ==
（2）()22268lim 22x x x x n x n
→-+-++ ()()2002646lim 2242x x x n n →⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-+-+ 2125
n -==- 102n ∴-=- 12n = 答6,12m n == 选做题
求()1
101lim x x x x e →⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：原式()11
011lim 1x x x x e e ∞→⎡⎤+-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()
110011lim lim x x x x x x e x e e e e →→⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢
⎥+-⎣
⎦⋅==
令()()1
1ln 11x x x y x e +=+=
()
()121ln 111x x x x y x x
-++'=+ ()()()()1
21ln 111x x x x x x x -++=++ 原式()()()
()20201ln 10ln 1lim lim 123x x x x x x x x x x e e →→-++-+++== 201
lim 232x x x x e e →--+==。