北航12年12月课程考试《概率统计》考核要求
一、 单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
1.设A 、B 、C 是三个随机事件,则事件“A 、B 、C 不多于一个发生”的对立事件是( B )。
A .A 、B 、C 至少有一个发生 B. A 、B 、C 至少有两个发生 B .A 、B 、C 都发生 D. A 、B 、C 不都发生
2.设事件A 与B 互不相容,()01B <P <,则一定有( D )。
A .()()
A B A P =P B. ()()A B A P =P
C .()1A B P = D. ()1A B P =
3.设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布,事件{}01A X =≤≤,{}12B X =≤≤。
则( D )。
A .A 、B 互不相容 B. A 、B 互相对立 C .A 、B 相互独立 D. A 、B 不独立
4.十个球中有三个红球七个绿球,随机地分给10个小朋友,每人一个球。
则最后三个分到球的小朋友中只有一个分到红球的概率p 为( C )。
A .13
310C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.2
371010⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
C .2
13371010C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
D.1237310C C C 5.设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,Y ax b =+服从标准正态分布,则( C )。
A .1,a b μ
σσ=
=
B.,a b σσμ==
C. 1,a b μσσ=-=
D. 1,a b μ
σσ
=-=-
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 6.设A 、B 是两个随机事件,()0.4A P =,()0.8B P =,()0.9A B P ⋃=。
则()A B P =___1/2________. 7.将D ,G ,O ,O 四个字母随机地排成一行,则恰好排成英文单词GOOD 的概率为_____1/12______. 8.将一枚硬币重复抛掷五次,则正、反面都至少出现两次的概率是____13/16_______. 9.已知{}{}10,00,14X Y X Y P ===P ===
,{}1
1,12
X Y P ===。
则{}00X Y P =≠=__1/3_________,1,12X Y ⎧⎫
P ≤≤=⎨⎬⎩⎭
_____1/2______.
10.设12,,,n x x x 是取自在[],2a a +上服从均匀分布总体的一组样本观测值,则未知参数a 的矩估计值为___
________.
三、简答题(本大题共7小题,每小题10分,共70分)
11.设某人射击一次中8环、9环、10环的概率分别为0.15、0.25与0.20.该射手连续进行三次射击,求得到不少于28环的概率。
答:表示i 次射击中环术,则
P{
}=P{X 1=9,X 2=9,X 3=10}+ P{X 1=9,X 2=10,X 3=10}+ P{X 1=10,X 2=9,X 3=9}+ P{X 1=9,X 2=10,X 3=9}+ P{X 1=10,X 2=10,X 3=9}+ P{X 1=X 2=X 3=10}+ P{X 1=10,X 2=9,X 3=10}
=3X0.252X0.2+3X0.22X0.25+0.23=0.413
12.设(),X Y 在区域(){},:13,13D x y x y =≤≤≤≤上服从二维均匀分布,令Z X Y =+,求Z 的数学
期望与方差。
答:
E(Z)=E(X)+E(Y)=
=2+2=4
D(Z)=D(x)+D(y)+Cov(x,y),其中D(x)=
D(y)=
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)*E(y) =
=4-4=0
所以D(z)=
13.在天平上重复称量一件重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
()2,0.2N a ,X 为n 次称量结果的算术平均值,求为使{}
0.10.95X a P -<≥,称量次数n 的最小
值。
答:
要使P{||
只须P{||}
即2Φ()-1 Φ()=Φ(1.96)
n
n 最小值取16.
14.设某项试验的成功率为0.8,连续进行独立重复试验,求直到第n 次才取得k 次成功()1k n ≤≤的概率。
答:P=
15.设随机变量i X 的数学期望和方差相等,且()()3i i E X D X ==,1,2,3i =。
求出i X 的分布参数并写出其概率密度或概率函数。
(1)1X 服从泊松分布;
(2)连续型随机变量2X 服从均匀分布; (3)3X 服从正态分布。
答:E (X 1)=D (X 1)=λ
P{X
1
=K}=K=0,1,2,3……(λ=3)
E(X
2
)=
a=0,b=6
E(a
3
)-a=3 D(x
3
)-σ=3
X
3
~N(3,3) f(x)= ,x
16.设随机向量()
,
X Y在区域()
{}
,:01,0
D x y x y x
=<<<<上服从二维均匀分布,求随机变量Z XY
=的期望与方差。
答:f(x,y)=
E(x,y)==
D(z
1
=E(x2y2)-E2(xy)=2
= - =
17.设
12
,,,
n
x x x
是取自连续型总体X的样本观察值,X的概率密度为
()
5
4,0
;24
0,0
x
x e x
f x
x
β
β
β
-
⎧
>
⎪
=⎨
⎪≤
⎩
其中参数0
β>未知,求β的最大似然估计值。
答:X i>0 L(β)=
=()x()4
LnL( )=5nlnβnln24+4
令:==0 β==
是的最大似然估计值。