B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
G
d
dx
3.静力学方面
切向内力对o的的矩为： dA
G
G
d
dx
dA
O
T A dA
A
G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，
D＝90mm，δ＝2.5mm。
Me 1.5kN.m
Me 1.5kN.m
试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；
(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同
的实心圆轴，重量之比为多少?
解：(1)最大切应力
A
B
精确值
1,max
T WP1
1.5 103 903(1 0.944 ) 109
单元体直角的改变量γ称为切应变
单位为弧度（rad）
d
a
ds
´
c
dx
b
d
与切应变相对应，单元体左、右两个面 上必有切应力τ。
单元体
切应力分布规律
（1）因为沿圆周方向所有单元
体的切应变γ是相同的，所以圆 周各点处的切应力τ应相等，而
方向垂直于半径。（因为剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
（2）又因壁很薄，又可近似 的
称为圆截面的极惯性矩
则有
T
GI p
d
dx
或
d
dx
T GI p
带入（b）式，得
T
Ip
（3-8） （3-9）
T
Ip
max
TR IP
T IP
R
令： I P
R
WP
则:
max
T
WP
（3-9）
T max
0
R
称为圆截面的扭转截面系数
（3-11）
注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。
0.01m
31.2 106
Pa
31.2
MPa
例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m， M2=4kN.m， M3=1.5kN.m，
G=80GPa
求： C截面相对于A截面的扭转角 AC
解：（1）计算扭矩
T1 M1 2.5kN m
M1 75 M 2 50 M3
T2 M3 1.5k N m
转向
MA
9549 PA n
9549 60 300
1.91103 N m
1.91kN m
A
B
C
D
MB
9549
PB n
9549 120 300
3.82103
N m
3.82kN m
MA
MB
MC
MD
MC
9549 PC n
9549 360 11.46103 300
N m
A
B
C
D
11.46kN m
MA
得：T3 M A MB MC 5.73kN m
MB
MC
T3
A
B
C
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
3.绘扭矩图
T1 1.91kN m T2 5.73kN m T3 5.73kN m
表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。
上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
三、塑性材料在纯剪切时的力学性能
由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某 一范围之内时，扭转角φ和外力偶矩Me成线性关系。
T
0
T
0
T
0
二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算
基本公式: I p A 2dA
WP
IP R
实心轴 ：
IP
2dA
d 2
2
2d
d
4
0
32
A
WP
IP R
Ip d2
d3
16
空心轴 ：
IP 2dA A
D
2 d
2
2
2 d
(D4 32
d
4
)
D4 (1 4 )
32
WP
IP R
D3
16
(1 4 )
其中 d
D
d
o dA
d
d
o dA
d D
三、扭转角
d T (x) dx
GI p
相距为l的两个横截面的相对 扭转角为
l T (x) dx
0 GI p
（3-16）（普遍式）
对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、 IP均为常量，故有
T
l
dx
Tl
任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
扭转实例：
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图
一、功率、转速和力偶矩之间的关系 主动轮 转向 从动轮
设某传动轴,其传递的功率为P(kW),
转速为n（r／min）
A
B
功率在1分钟做功：
Me
A
Me
第三章 扭转
目录
§3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-6 矩形截面杆的扭转 §3-7 圆杆的极限扭矩
§3-1 概述
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行
四边形。
因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的
转动视为横截面的转动，任意两个横
a
截面相对转动的角度称为相对扭转角。
a1
ab cd
由于相邻横截面的距离未变，圆周 线长度也未变，故单元体沿x和s方 向均无线应变，从而可知杆的横截 面和径截面上均无正应力。
单元体左、右两个面发生了相对错 动，因错动而倾斜的角度，也就是
1.几何方面
R
•
dx
R
•
dx
（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，
只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上
所有矩形均变成平行四边形。
（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、 形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平 面一样绕轴线作相对转动。
MD
9549 PD n
9549 180 5.73103 300
N m
5.73kN m
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
2.计算扭矩
1-1截面
l R
a
a1
R
l
（3-3）
式中R为外半径，对于薄成顺时针转向力偶，其矩为
( dzdy)dx
组成逆时针转向力偶，其矩为
( dzdx)dy
a
dy
´
c
Mz 0 ( dzdx)dy ( dzdy)dx 0z
dx
´
b
d dz
得
（3-4）（切应力互等定理）
求：AC段、CB段的最大和最小切应力。
T
BC,max
WP 2
Me
199N m
0.033
1