第一章
1、证明：任意奇整数可表示为2k0+1，k0 Z
（2k0+1）2＝4k02+4k0+1=4k0(k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k
所以（2k0+1）2=8k+1 得证。
7、证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k Z 3|a 则3|a3-a
因为e|a/d，故e|a，所以e|(a, c)。
相反地，如果f=(a, c)，由题设(a, b, c)=1，于是有(f, b)=1，所以(d, f)=1，因而f|a/d；而显然有f|bc/d，因此f|e，综上，e=f。
因此(a, b)(a,c)=de=d(a/d,bc/d)=(a,bc)
14、证明：
当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
13、证明：
设d=(a,b)，则(a/d, b/d)=1。因此如果g|a/d，则(g, b/d)=1；
设e=(a/d,bc/d)，有e|a/d，所以(e, b/d)=1，因此必有e|c。
a+a=(a+a)(a+a)=aa+aa+aa+aa=a+a+a+a
9、证明：
10、证明：
等式右边包含k个2。
11、证明：
14、证明：
第三章
4、证明：
因为
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
第四章
8、证第五章
1、不成群，因为无逆元（单位元为0）
3、证明
设
abba=(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e
=>ab=ba
10、证明
设(a-b，a+b)=d，
则d|a-b，且d|a+b，
于是，d|2a，且d|2b.
所以，d|(2a，2b).
但(2a，2b)=2(a，b)=2，
所以，d|2，
因此，d=1或2。
命题得证。
37、证明：
因为a≡b (mod c)，
则 a-b=kc；
(a, c)=(a-kc, c)=(b, c)
51、证明：
310=(35)2=(243)2≡12=1 (mod 112)
52、证明：
因(a, 35)=1，则(a, 7)=1，(a, 5)=1
a12-1=(a6)2-1≡12-1=0 (mod 7)
a12-1=(a4)3-1≡13-1=0 (mod 5)
故35|a12-1
55、证明：
1p+2p+3p+…+(p-1)p-1=1p-1*1+2p-1*2+3p-1*3+…+(p-1)p-2*(p-1)
≡1+2+3+…+(p-1)
=p(p-1)/2
≡0 (mod p)
57、证明：
ap+(p-1)!a≡ap-a=a(ap-1-1)≡a(1-1)=0 (mod p)
第二章
6、证明：
因为x+y=[x]+{x}+[y]+{y}
所以[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}]≥[x]+[y]