成人专升本高等数学—模拟试题二一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）1．极限2lim 1+xx x →∞⎛⎫⎪⎝⎭等于A ：21e B ：e C ：2e D ：12．设函数sin 0()0x x f x xax ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处连续，则：a 等于A ：2B ：21C ：1D ：2- 3．设xe y 2-=，则：y '等于A ：xe22- B ：xe 2- C ：xe22-- D ：xe22-4．设)(x f y =在),(b a 内有二阶导数，且0)(<''x f ，则：曲线)(x f y =在),(b a 内 A ：下凹 B ：上凹 C ：凹凸性不可确定 D ：单调减少 5．设)(x f '为连续函数，则：⎰'1)2(dx x f 等于A ：)0()2(f f -B ：)]0()1([21f f -C ：)]0()2([21f f - D ：)0()1(f f -6．设)(x f 为连续函数，则：⎰2)(x adt t f dx d 等于A ：)(2x f B ：)(22x f x C ：)(2x xf D ：)(22x xf7．设)(x f 为在区间],[b a 上的连续函数，则曲线)(x f y =与直线a x =，b x =及0=y 所围成的封闭图形的面积为 A ：⎰badx x f )( B ：⎰b adx x f |)(| C ：|)(|⎰badx x f D ：不能确定8．设yx y 2=，则：xz∂∂等于 A ：122-y yxB ：y xyln 2 C ：x x y ln 212- D ：x x y ln 229.22=+sin ,zz x y y x y∂∂∂设则等于 10．方程23x y y ='+''待定特解*y 应取A ：AxB ：C Bx Ax ++2 C ：2Ax D ：)(2C Bx Ax x ++二、填空题（每小题4分，共40分）11．=+--+∞→423532lim22x x x x x12．设xxy sin =，则：='y13．设x sin 为)(x f 的原函数，则：=)(x f14．=-⎰dx x x 42)5(15．已知平面π：0232=+-+z y x ，则：过原点且与π垂直的直线方程是16．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=2arctan x y x z ，则：=∂∂)1,2(x z17．设区域D ：222a y x ≤+，0≥x ，则：=⎰⎰Ddxdy 318．设2)1(='f ，则：=--→1)1()(lim21x f x f x19．微分方程0='-''y y 的通解是 20．幂级数∑∞=-1122n nn x 的收敛半径是三、解答题21．（本题满分8分）求：xx e x x 2cos lim 0-+→22．（本题满分8分）设⎩⎨⎧===t y t x x f arctan ln )(，求：dx dy23．（本题满分8分）在曲线)0(2≥=x x y 上某点),(2a a A 处做切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的图象面积为121， 求（1）切点A 的坐标),(2a a ；（2）过切点A 的切线方程24．（本题满分8分）计算：⎰4arctan xdx25．（本题满分8分）设),(y x z z =由方程0)ln(=++-z y xy e z确定，求：dz 26．（本题满分10分）将2)1(1)(x x f -=展开为x 的幂级数27．（本题满分10分）求xxe y =的极值及曲线的凹凸区间与拐点28．（本题满分10分）设平面薄片的方程可以表示为222R y x ≤+，0≥x ，薄片上点),(y x 处的密度22),(y x y x +=ρ求：该薄片的质量M成人专升本高等数学—模拟试二答案1、解答：本题考察的知识点是重要极限二2222222lim 1=lim[1]=x x x x e x x ⨯→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭原式，所以：选择C 2、解答：本题考察的知识点是函数连续性的概念 因为：00sin lim ()lim1x x xf x x→→==，且函数()y f x =在0=x 处连续所以：0lim ()(0)x f x f →=，则：1a =，所以：选择C3、解答：本题考察的知识点是复合函数求导法则22x y e -'=⋅-，所以：选择C4、解答：本题考察的知识点是利用二阶导数符号判定曲线的凸凹性因为：)(x f y =在),(b a 内有二阶导数，且0)(<''x f ，所以：曲线)(x f y =在),(b a 内下凹 所以：选择A5、解答：本题考察的知识点是不定积分性质与定积分的牛—莱公式11100111(2)(2)2(2)|[(2)(0)]222f x dx f x d x f x f f ''===-⎰⎰,所以：选择C 6、解答：本题考察的知识点是可变上限积分的求导问题22()()2x ad f t dt f x x dx =⋅⎰，所以：选择D 7、解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义 所以：选择B8、解答：本题考察的知识点是偏导数的计算212y zy x x-∂=⋅∂，所以：选择A 9、解答：本题考察的知识点是多元函数的二阶偏导数的求法2=2,=2z z xy x x x y∂∂∂∂∂因为所以，所以：选D10、解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程特解设法因为：与之相对应的齐次方程为30y y '''+=，其特征方程是230r r +=，解得0r =或3r =- 自由项220()xf x x x e⋅==⋅为特征单根，所以：特解应设为2()y x Ax Bx C =++11、解答：本题考察的知识点是极限的运算 答案：2312、解答：本题考察的知识点是导数的四则运算法则csc sin xy x x x==，所以：csc csc cot y x x x x '=- 13、解答：本题考察的知识点是原函数的概念因为：x sin 为)(x f 的原函数，所以：()(sin )cos f x x x '== 14、解答：本题考察的知识点是不定积分的换元积分法15、解答：本题考察的知识点是直线方程与直线方程与平面的关系因为：直线与平面垂直，所以：直线的方向向量s 与平面的法向量n 平行，所以：(2,1,3)s n ==- 因为：直线过原点，所以：所求直线方程是213x y z==- 16、解答：本题考察的知识点是偏导数的计算221(2)1()z x x x y x y∂=⋅+∂++，所以：(2,1)537z x ∂=∂ 17、解答：本题考察的知识点是二重积分的性质33DDdxdy dxdy =⎰⎰⎰⎰表示所求二重积分值等于积分区域面积的三倍，区域D 是半径为a 的半圆，面积为22a π，所以：2332Da dxdy π=⎰⎰18、解答：本题考察的知识点是函数在一点处导数的定义因为：2)1(='f ，所以：211()(1)()(1)11limlim (1)11112x x f x f f x f f x x x →→--'=⋅==--+ 19解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程的通解求法 特征方程是20r r -=，解得：特征根为01r r ==， 所以：微分方程的通解是12xC C e +20、解答：本题考察的知识点是幂级数的收敛半径(21)12112112lim ||lim ||122n n n n n n n nx u x u x+-++→∞→∞-==，当212x <，即：22x <时级数绝对收敛，所以：R =三、解答题21、解答：本题考察的知识点是用罗比达法则求不定式极限 22、解答：本题考察的知识点是参数方程的求导计算23、解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义和曲线的切线方程 因为：2y x =，则：2y x '=，则：曲线过点),(2a a A 处的切线方程是22()y a a x a -=-，即：22y ax a =-曲线2y x =与切线22y ax a =-、x 轴所围平面图形的面积由题意112S =，可知：3111212a =，则：1a = 所以：切点A 的坐标(1,1)，过A 点的切线方程是21y x =- 24、解答：本题考察的知识点是定积分的分部积分法 25、解答：本题考察的知识点是多元微积分的全微分 ⑴求z x∂∂：10z z z e y x y z x ∂∂-+=∂+∂，所以：()1()1zz z y y y z x y z e e y z∂+==∂++++ ⑵求z y ∂∂：1(1)0z z z e x y y z y ∂∂-++=∂+∂，所以：1()11()1z z x z x y z y z y y z e e y z-∂+-+==∂++++所以：1[()[()1])()1z z z dz dx dy y y z dx x y z dy x y y z e ∂∂=+=+++-∂∂++ 26、解答：本题考察的知识点是将初等函数展开为的幂级数 27、解答：本题考察的知识点是描述函数几何性态的综合问题x xe y =的定义域是全体实数(1)(2)x x y x e y x e '''=+=+，，令00y y '''==，，解得驻点为11x =-，拐点22x =-列表（略），可得：极小值点为11x =-，极小值是1(1)f e -=-曲线的凸区间是(2,)-+∞，凹区间是(,2)-∞-，拐点为22(2,)e -- 28、解答：本题考察的知识点是二重积分的物理应用。