一. 填空题( 每空2分, 共34分)
1. 设 *
2.40315x = 是真值 2.40194x =的近似值, 则 *x 有 3 位有效数字。
2.求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是1
cos _____________1sin k k
k k
k
x x x
x x +-=-+。
3． 迭代法1221
3k k k
x x x +=
+
收敛于*__x =, 此迭代格式是__2__阶收敛的。
5. 形如 0
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰ 的插值型求积公式, 其代数精度至少可
达_________n 次, 至多可达___21______n +次。
6. 向量 (3,2)T X =-, , 矩阵 7231A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭, 则
=1AX ___36____, Cond ()___90_____A ∞=。
7．对矩阵A 作如下的LU 分解:
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A , 则 ___2____a =, ___3____b =
8. 设 100a A b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭, 要使lim 0k k A →∞
=, a 与b 应满足 ___1,1____a b <<。
10. 设(0,1,2,3,4,5)i x i =为互异节点, ()i l x 为对应的5次Lagrange 插值基函数, 则5
540((ln 2)1)()i i i i x x l x =++∑=54__(ln 2)1_________x x ++
二. (12分)
设函数)(x f 在区间[0,2]上具有四阶连续导数, 试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H , 并写出其余项()()()R x f x H x =- 的表示式
解: 2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)N x f f x f x x =++-
2
13(1)321
x x x x x =++-=-+ ( 5分)
2()()(1)(2)H x N x ax x x =+--
0'()62(1)(2)43
x H x x a x x a ==-+--== ( 8分)
223
2
()3213(1)(2)3641
H x x x x x x x x x =-++--=-++ ( 10分)
令)()()(x H x f x R -=, 作辅助函数2()()()()(1)(2)g t f t H t k x t t t =----
则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点: 21,0,，
x t = 重复利用罗尔定理可得:
!4)()()
4(ξf x k =
, )0)(()
4(=ξg
因此 (4)2
()()(1)(2)4!
f R x x x x ξ=
-- (12分)
三．( 12分) 求积公式
1
'0100
()(0)(1)(0),f x dx A f A f B f ≈++⎰
又知其误差余项为
'''(),[0,1]R kf ξξ=∈。
试确定系数010,,A A B 及, 使该求积公式有尽可能高的代数
精度, 指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 k 值。
解: 将2()1,,f x x x =分别代入公式得:
0110
100111
121
233613
A A A
B A A B A ⎧
⎪=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得＝，＝， ＝
( 6分)
当3()f x x =时, 左边等于14, 右边等于1
3
, 因此求积公式最高代数精度为2。
( 9分)
将3()f x x =代入有误差项中的积分式中
1
30
11643
172
x dx k k =
=+=-
⎰
( 12分)
四．(12分)
分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组
121223
324
x x x x +=⎧⎨+=⎩
写出迭代格式, 并判断收敛性。
若将原方程组变为
1212324
23
x x x x +=⎧⎨+=⎩
再用上述两种迭代法求解是否收敛? 说明原因。
解: 雅可比迭代格式为
10
233
202
k k x x +-⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
()B ρ= 发散 ( 4分) 高斯-赛德尔迭代格式为
13025032k k x x +⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
()3B ρ= 发散 (8分) 方程组变为形式后
方程均严格对角占优, 则收敛。
( 12分)
五. ( 16分)
1.( 8分) 用Gauss 列主元消去法解方程组:
1231231
234,54312,211.
x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
-+=-⎨⎪++=⎩ 解: 54
31211145431212
85431211140555211112111113
179055
5⎛
⎫ ⎪
------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪--→--→--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝
⎭
( 3分) 5431254312131791317900555555
128550005551313⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪
----
⎪ ⎪
⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-
--⎝⎭⎝⎭
(6分)
(3,6,1)x T =- (8分)
六.( 下列2题任选一题, 8分)
1．设0a >, 试建立计算
x =的牛顿迭代公式, 并分析其收敛性。
解: 1. 1. 解: 问题转换为求解2()(0)f x x a x =->的正根。
牛顿迭代公式为
211(),0,1,2
22k k k k k k
x a a
x x x k x x +-=-=+= ( 2分)
下面证明对任何初值00x >迭代过程收敛。
'()20,"()20.f x x f x =>=> 根据定理2.8,
对于任何0x >, 迭代公式收敛。
( 5分)
当0x ∈, 由f 的单调性知
010000000()'()
'()
)'()
)f x x x f x f x x f x x x ξ=-=+
>+= 对任何初值00x >迭代过程收敛。
( 8分) 七.( 6分)
设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数, 且()()0,f a f b ==证明
2''1
()()()8max max a x b a x b
f x b a f x ≤≤≤≤≤-
证明:
''''
()()()
()()()()()
()()2!()
()()2!
x b x a f x f x f a f b x a x b a b b b f x x a x b --=++----=
-- ( 3分)
则
''2''1
()()()()21
()()8max
max max a x b
a x b
a x b
f x x a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤≤≤
--≤- ( 6分)
*********************** 一. 填空题( 每空2分, 共40分)
1. 设 *0.231x = 是真值 0.229x =的近似值, 则 *x 有 2 位有效数字。
5. 向量 (2,3)T X =-, , 矩阵 2154A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭, 则
=1AX ___3_____, Cond ()___21_____A ∞=。