高考立体几何大题1如图,在底面 就是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中,∠ABC=600,PA=AC=a ,PB=PD=a 2,点E 就是PD 的中点、(I)证明PA ⊥平面ABCD,PB ∥平面EAC;(II)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值、 (04湖南18)2如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AC与BD 交于点E,CB 与CB 1交于点F 、(I)求证:A 1C⊥平BDC 1;(II)求二面角B —EF —C 的大小(结果用反三角函数值表示)、3在三棱锥S —ABC 中,△ABC 就是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC,SA=SC=22,M 为AB 的中点、(Ⅰ)证明:AC ⊥SB;(Ⅱ)求二面角N —CM —B 的大小;(Ⅲ)求点B 到平面SCM 的距离、 (04福建1)4如图,P —ABC 就是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长与相等、(棱长与就是指多面体中所有棱的长度之与)(1)证明:P —ABC 为正四面体;(2)若PD=21PA, 求二面角D —BC —A 的大小;(结果用反三角函数值表示)5(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面就是正方形, ,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面(1) 证明MF 就是异面直线AB 与PC 的公垂线;(2)若3PA AB =,求二面角E —AB —D 平面角、 66如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 就是正方形,侧棱⊥PD 底面ABCD,DC PD =,E 就是PC 的中点。
(1)证明//PA 平面EDB;(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。
DEP B AC高考立体几何大题ADCBEP7如图,已知正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M 就是线段EF 的中点、 (Ⅰ)求证AM∥平面BDE; (Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;(Ⅲ)求二面角A —DF —B 的大小;8如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为矩形,AB=8,AD=43,侧面PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°、(Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积; (Ⅱ)证明PA ⊥BD 、9三棱锥P —ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC=3、(1) 求证AB ⊥BC; (2) 如果AB=BC=32,求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小 10、 如图,已知四棱锥 P —ABCD,PB ⊥AD,侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°、(I)求点P 到平面ABCD 的距离;(II)求面APB 与面CPB 所成二面角的大小、 1因为底面ABCD 就是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a , 在△PAB 中, 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB 、 同理,PA ⊥AD,所以PA ⊥平面ABCD 、因为 DA DC ED CB DC PD PB ++=++=2 .)()(EC EA DC ED DA ED +=+++=所以 PB 、EA 、EC 共面、又PB ⊄平面EAC,所以PB//平面EAC 、(Ⅱ)解 作EG//PA 交AD 于G,由PA ⊥平面ABCD 、 知EG ⊥平面ABCD 、作GH ⊥AC 于H,连结EH,则EH ⊥AC,∠EHG 即为二面角θ的平面角、 又E 就是PD 的中点,从而G 就是AD 的中点,DCEFM ABPPCAB.4360sin ,21,21a AG GH a AG a EG =︒===所以 .332tan ==GH EG θ 2(Ⅰ)∵A 1A ⊥底面ABCD,则AC 就是A 1C 在底面ABCD 的射影、∵AC ⊥BD 、∴A 1C ⊥BD 、 同理A 1C ⊥DC 1,又BD ∩DC 1=D, ∴A 1C ⊥平面BDC 1、(Ⅱ)取EF 的中点H,连结BH 、CH,...,22的平面角是二面角同理C EF B BHC EF CH EF BH BF BE --∠∴⊥⊥∴==Θ又E 、F 分别就是AC 、B 1C 的中点,.31arccos .31arccos )31arccos(31464621)46()46(2cos ,,.4623..21//222221----=-=∠∴-=⨯⨯-+=⋅-+=∠∆===∆∆∴∴=ππ的大小为故二面角得由余弦定理中于是在故是两个全等的正三角形与C EF B BHC CHBH BCCH BH BHC BCH BF CH BH CEF BEF AB EF3(Ⅰ)取AC 中点D,连结DS 、DB 、 ∵SA=SC,BA=BC,∴AC ⊥SD 且AC ⊥DB,∴AC ⊥平面SDB,又SB ⊂平面SDB, ∴AC ⊥SB 、(Ⅱ)∵SD ⊥AC,平面SAC ⊥平面ABC, ∴SD ⊥平面ABC 、过D 作DE ⊥CM 于E,连结SE,则SE ⊥CM, ∴∠SED 为二面角S －CM －A 的平面角、由已知有AM DE 21//=,所以DE=1,又SA=SC=22,AC=4,∴SD=2、 在Rt △SDE 中,tan ∠SED=DESD=2,∴二面角S －CM —A 的大小为arctan2、(Ⅲ)在Rt △SDE 中,SE=522=+DE SD ,CM 就是边长为4 正△ABC 的中线,32=CM 、 ∴S △SCM =21CM ·SE=1553221=⨯⨯, 设点B 到平面SCM 的距离为h, 由V B-SCM =V S-CMB ,SD ⊥平面ABC, 得31S △SCM ·h=31S △CMB ·SD, ∴h=.554=⋅∆∆SCM CMB S SD S 即点B 到平面SCM 的距离为.554 4(1) ∵棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长与相等,∴DE+EF+FD=PD+PE+PF 、 又∵截面DEF ∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P —ABC 就是正四面体、 【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM 、AM 、∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D —BC —A 的平面角、 由(1)知,P —ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 就是PA 的中点, 得sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33、 5(I)证明:因PA ⊥底面,有PA ⊥AB,又知AB ⊥AD, 故AB ⊥面PAD,推得BA ⊥AE,又AM ∥CD ∥EF,且AM=EF,证得AEFM 就是矩形,故AM ⊥MF 、 又因AE ⊥PD,AE ⊥CD,故AE ⊥面PCD, 而MF ∥AE,得MF ⊥面PCD,故MF ⊥PC, 因此MF 就是AB 与PC 的公垂线、(II)解:因由(I)知AE ⊥AB,又AD ⊥AB,故∠EAD 就是二面角E —AB —D 的平面角、 设AB=a,则PA=3a 、因Rt △ADE~Rt △PDA 故∠EAD=∠APD 因此1010)3(sin sin 22=+===a a a PDADAPD EAD 6(1)证明:连结AC 、AC 交BD 于O 。
连结EO∵ 底面ABCD 就是正方形 ∴ 点O 就是AC 的中点。
在PAC ∆中,EO 就是中位线 ∴ EO PA // 而⊂EO 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ,所以,//PA 平面EDB 。
(2)解:作DC EF ⊥交CD 于F 。
连结BF,设正方形ABCD 的边长为a 。
∵ ⊥PD 底面ABCD ∴ DC PD ⊥ ∴ PD EF // F 为DC 的中点∴ ⊥EF 底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角。
在BCF Rt ∆中,a a a CF BC BF 25)2(2222=+=+=∵ 221aPD EF == ∴ 在EFB Rt ∆中 55252tan ===a aBF EF EBF 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55 7(Ⅰ)设AC ∩BD=0,连结OE,∵O、M 分别就是AC 、EF 的中点,ACEF 就是矩形,∴四边形AOEM 就是平行四边形,∴AM∥OE、∵⊂OE 平面BDE, ⊄AM 平面BDE ∴AM∥平面BDE 、 (Ⅱ)∵BD ⊥AC,BD ⊥AF,且AC 交AF 于A,∴BD ⊥平面AE,又因为AM ⊂平面AE,∴BD ⊥AM 、 ∴AD=2,AF=1,OA=1,∴AOMF 就是正方形,∴AM ⊥OF,又AM ⊥BD,且OF ∩BD=0 ∴AM ⊥平面BDF 、 (Ⅲ)设AM ∩OF=H,过H 作HG ⊥DF 于G,连结AG, 由三垂线定理得AG ⊥DF,∴∠AGH 就是二面角A —DF —B 的平面角、οοΘ6060,23sin ,36,22的大小为二面角B DF A AGH AGH AG AH --∴=∠∴=∠∴==8(Ⅰ)如图1,取AD 的中点E,连结PE,则PE ⊥AD 、作PO ⊥平面在ABCD,垂足为O,连结OE 、 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD,所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角,由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,所以PO=33,四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ (Ⅱ)解法一:如图1,以O 为原点建立空间直角坐标系、通过计算可得P(0,0,33),A(23,－3,0),B(23,5,0),D(－23,－3,0) 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅ 所以PA ⊥BD 、9(1)证明:如果,取AC 中点D,连结PD 、BD 、因为PA=PC,所以PD ⊥AC, 又已知面PAC ⊥面ABC,所以PD ⊥面ABC,D 为垂足、因为PA=PB=PC, 所以DA=DB=DC,可知AC 为△ABC 外接圆直径, 因此AB ⊥BC 、(2)解:因为AB=BC,D 为AC 中点,所以BD ⊥AC 、又面PAC ⊥面ABC, 所以BD ⊥平面PAC,D 为垂足、 作BE ⊥PC 于E,连结DE,因为DE 为BE 在平面PAC 内的射影,所以DE ⊥PC,∠BED 为所求二面角的平面角、 在Rt △ABC 中,AB=BC=32,所以BD=6、 在Rt △PDC 中,PC=3,DC=6,PD=3, 所以.2363=⨯=⋅=PC DCPD DE 因此,在Rt △BDE 中,326tan ==∠BED , ︒=∠60BED ,所以侧面PBC 与侧面PAC 所成的二面角为60°10(I)解:如图,作PO ⊥平面ABCD,垂足为点O 、连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E,连结PE 、∵AD ⊥PB,∴AD ⊥OB,∵PA=PD,∴OA=OD,于就是OB 平分AD,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD 、 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角,∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23、。