二、研究应力状态的方法 一对横截面，两对纵截面
F
FF
A
A F/A
§13-1 引言
A
F
AA
二、研究应力状态的方法
Me B
Me
F A
B C
§13-1 引言
横截面、周向面、直径面各 一对
B Me /Wp
B
B
FQ
S z max
Izb
A
A
A
M Wz
C
C
FS SzC ()
C
I z bMy
C
Iz
§13-1 引言
x 0
F y A
z0
§13-1 引言
x y0 y x y z z y x zzx
A F/A
z xO y
二、研究应力状态的方法
§13-1 引言
3．截取单元体的方法、原则：
1)用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构 件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微 小正六面体
2)单元体各个面上的应力已知或可求
§13-1 引言
一、一点的应力状态
杆件受力后，其内任一点在各个截面上的应力状况的集合，
称为该点的应力状态
nm
F
a
F
A
mn
F
FN
A
A
F
a a
a
2
1 cos 2a
A a
a
2
sin 2a
二、研究应力状态的方法 ——单元体
§13-1 引言
1．单元体 围绕构件内一点所截取的微小正六面体。具有以下特点
2、三向应力状态实例
F
外圈
滚珠 A
载荷的接触点为三向应力状态
§13-1 引言 A
第十三章 应力状态分析
§13-2 平面应力状态应力分析
y
yx
y
x xy x
z
一、解析法
平面应力状态应力分析
y
yx
z
y
y
yx σ y
x xy x
σx
xy
σ xx
xy
σ y yx
平面应力状态应力分析
一、解析法
P278: (13-2)
平面应力状态应力分析
任一斜截面上的应力
y
a
x
y
2
a
x
y
2
cos2axysin2a
σ
x
y
2
sin2axycos2a
b
x
xy
a
yx
a
σ
σy
n
a
e
yx
y
c
σ xx
xy
d
a ：以x轴正向为起线，逆时针转至n正向者为正，反
之为负
正应力 ：拉为正；切应力：顺时针为正。
第十三章 应力状态分析
§13-3 极值应力和主应力
平面应力状态应力分析
主平面与主应力 1.极值正应力的条件
a
x
y
2
x
y
2
cos2axysin2a
a
xy2sin2aycos2ad a da
a a0
2 x 2ysi2n a0xy co2as0 0
a a ta2na0
aa0
2xy x y
x 2ysi2n0xc y o 20 s0
y
2
sin2axycos2a
ta2na0
2xy x y
P281:
(13-4)
m mainxx 2y x 2y2x2y
P281:(13-3)
平面应力状态应力分析
4.主主平应面力与与主主应平力面的对应关t系a2的na确0 定x2xy y (13-4)
4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主要目
的就是寻找主单元体和主应力
三、应力状态的分类
§13-1 引言
2．应力状态按主应力分类：
1)单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态
2)平面应力状态： 只有一个主应力为零的应力状态，也 称二向应力状态
3)空间应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态，也 称三向应力状态；
zy
zx
xy
x
yx
xz yz dz
yz
xz
O
x
xy zy
zx
y yx
Y
dx
z
X
dy z
xO y
二、研究应力状态的方法
§13-1 引言
4)切应力互等定理
Z z
y zz， yz xx， zx yyx zx
zy xy
x
独立分量有六个
yx
xz yz
y
yz
xz
O
yx
x
xy zx zy
y
Y
X
z
二、研究应力状态的方法
任一斜截面上的应力
y
Fn 0
dA coas
σx
b
a
t
a
a
n
xy
a dA
a
e
dA sina σ y yx
b yx σ y c
n
σx a a
xy
e
σ xx
xy
a σ y yx d
aa a a a d A x d A co cs o x s d A y co ss in
a a a a y d A sis n i n yd A xsic no
0
xy yx
任一斜截面上的应力
Ft 0
dA coas
σx
bt
a
a
a
n
xy
a dA
a
e
dA sina σ y yx
平面应力状态应力分析
y
b yx σ y c
n
σx a a
xy
e
σ xx
xy
a σ y yx d
a
x
y
2
x
y
2
cos2axysin2a
P278:
(13-1)
a
x
y
2
sin2axycos2a
P281: (13-4) a 0 和 90 a0 都是解
2.主平面的方位 主应力就是极值正应力
a a ta 2 0 n ta 1 n 8 2 0 0 主应力(即主平面)是相互垂直的
主平面与主应力 3.主应力的大小
a 0 90 a0
平面应力状态应力分析
a
x
y
2
x
y
2
cos2axysin2a
a
x
材料力学
第十三章 应力状态分析
§13-1 引言 §13-2 平面应力状态应力分析 §13-3 极值应力和主应力 §13-4 复杂应力状态的最大应力 §13-5 广义胡克定律 §13-6 复合材料应力应变关系简介
第十三章 应力状态分析
§13-1 引言
一、一点的应力状态 二、研究应力状态的方法 三、应力状态的分类
1)单个面上的应力均布，用箭头表示方向
2)平行面上的应力大小相同、方向相反
3)单元体三个相互垂直面上的应力已知
§13-1 引言
二、研究应力状态的方法
2．单元体上的应力分量
1)单元体各面上的应力分量共有九个 Z z
2)应力分量的角标规定
第一角标表示应力作用面 面的方位用其法线方向表示 y
第二角标表示应力平行的轴 两角标相同时，只用一个角 标来表示。
三、应力状态的分类
1．主应力、主单元体、主平面的概念
1)主平面： 单元体上切应力为零的平面
2)主单元体： 各面均为主平面的单元体，主单元体上
z 有三对主平面
z
zy
zx
yz
x
xz x xy
yx
y
y
x'
1
旋转
z'
3
2 y'
3)主应力：主 平 面 上 的 正 应 力 ， 用 1 、 2 、 3 表 示 ， 有 1≥2≥3
4)单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应力 状态又称复杂应力状态。
二向和三向应力状态的实例 1、二向应力状态实例
1)简单拉压、扭转、弯曲
§13-1 引言
单向应力状态或二向应力状态 2)从扭转和弯曲看，最大应力往往发生在构件的表层
构件的表面为自由表面，应力为零 为一主平面 从表层取出的单元体为二向应力状态