§2.2线性变换的基本性质教学目标:一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。

三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。

增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。

教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 称为二阶矩阵。

特别地，称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。

称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。

（2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。

同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。

2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dycx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性变换。

（2）旋转变换坐标公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ααααcos sin sin cos （3）反射变换①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==yy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y y x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110； （4）伸缩变换坐标公式为⎩⎨⎧==yk y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210k k ； （5）投影变换①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==yy x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000 （6）切变变换①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s 二、新课讲解定理1 设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。

则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X证明：（1）A （t 1X ）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11ty tx ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1111dty ctx bty atx ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1111dy cx by ax t ＝t （A 1X ） （2）A 1X ＋A 2X ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11y x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22y x ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1111dy cx by ax ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222dy cx by ax ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++22112211dy cx dy cx by ax by ax ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++)()()()(21212121y y d x x c y y b x x a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2121y y x x ＝A （1X ＋2X ） （3）A （t 1X ＋k 2X ）＝A （t 1X ）＋A （k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X 由定理1还得出：A （2X 1X -）＝A 2X ＋A （1X -）＝A 2X - A 1X 由定理1还可翻译为线性变换在向量上作用的等式βαβαA A A +=+)(；ααtA t A =)(；)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+定理2 可逆的线性变换具有如下性质：（1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形证明：设可逆线性变换A 的矩阵为A 。

设0P ，1P ，2P 为平面三个不同的点，P 为平面上任意一点，点0P ，1P ，2P ，P ，分别初恋换A 变到点`0P ，`1P ，`2P ，`P 如图所示。

设0OP ，1OP，2OP ，OP ，`0OP ，`1OP ，`2OP ，`OP 的坐标分别是0X ，1X ，2X ，X ，`0X ，`1X ，`2X ，`X则`0X ＝A 0X ，`1X ＝A 1X ，`2X ＝A 2X ，`X ＝A X设0P ，1P 不重合，决定一条直线0P 1P 和一条线段0P 1P由于A 是可逆变换，`0P ，`1P 也不重合，也决定一条直线`0P `1P 和一条线段`0P `1P（1）点P 在直线0P 1P 上⇔存在实数t 使P 0＝t 10P P⇔X -0X =t (1X -0X )⇔A(X -0X )=A t (1X -0X)⇔ A X - A 0X =t (A 1X -A 0X )⇔`X -`0X =t (`1X -`0X ) ``0P P =t `1`0P P ⇔`P 在直线`0P `1P 上 因此，A 将直线0P 1P 变成直线`0P `1P（2）点点P 在线段0P 1P 上⇔存在实数t 使10≤≤t 且P 0＝t 10P P重复（1）的计算，知道P P 0＝t 10P P ⇔``0P P =t `1`0P P ⇔`P 在线段`0P `1P 上这说明A 将线段0P 1P 变成线段`0P `1P（3）设四边形0P 1P 2P P 是平行四边形，则10P P ＝P 2，并且直线0P1P 与直线2P P 不重合。

由于A 是可逆变换，直线`0P `1P 与直线`2P `P 不重合。

并且，由（2）的结论，四边形0P 1P 2P P 的四条边0P 1P，1P 2P ，2P P ，P 0P 分别变成4条线段`0P `1P ，`1P `2P ，`2P `P ，`P `0P ，这4条线段围成一个四边形`0P `1P `2P `P且由10P P ＝P 2⇔1X -0X ＝X -2X⇔A （1X -0X ）＝A （X -2X ）⇔A 1X -A 0X ＝A X -A 2X ＝`1X -`X ＝`X -`2X ⇔`1`0P P ＝``2P P知道`0P `1P `2P `P 是平行四边形。

三、例题解析例1、对矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，向量α＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32，β＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛21，验证以下等式成立 （1）βαβαA A A +=+)(； （2）A （α21）＝21A α 解：（1）=+)(βαA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21）＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-51＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15 βαA A +＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15∴βαβαA A A +=+)(（2）A （α21）＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123 21A α＝21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32＝21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123 ∴A （α21）＝21A α例2、直线l 经过点A （1,0）和B （1,1），考查矩阵M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011把直线l 变成什么图形？思路点拔：考虑在矩阵M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011对应变换下点A ，B 所得的点A 1.和B 1，确定图形形状 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12即在矩阵M 的作用下点A 变成点A ，点B （1,1）变成点B 1（2,1） M ＝M －M ＝1OB －＝1AB即变成1AB ，由于A 和B 1不重合，1≠AB ，所以，矩阵M 把直线l 变成了经过点A 和B 1的直线例3、梯形OABC 的顶点为A （2，0）B （2，3），C （0,2），且AB ∥OC ，求证：梯形OABC 在M ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。

证明：由⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-42； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-78； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-24 所以在矩阵M 的作用下点O,A,B,C 分别变成点O ，A 1（2，4-），B 1（8, 7-），C 1（4，2-）11B A ＝（6，3-）， 1OC ＝（4，2-） 11B A ＝123OC ，即A 1B 1∥OC 1平行且不相等所以梯形OABC 在M ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。

四、课堂练习1、给定矩阵M ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001，考查该矩阵抒经过点A （2，1）垂直于x 轴的直线l 变成什么？2、已知△ABC 的顶点坐标分别是A （0,0），B （1，3），C （0,2），求证：在矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21232321变换下△ABC 仍是三角形。

五、小结1、矩阵既可以对点进行线性变换，也可以对向量进行线性变换，共线向量在矩阵对应的线性变换作用下所得到向量仍共线，且所成比例不变2、可逆变换保持图形性状不变，直线变成直线，平行直线变成平行直线，相交直线变成相交直线等；而不可逆变换则有可能改变图形形状，直线变成点，矩形变成线段。

六、课后作业：课本35页 习题2教学反思：。