27.8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同？
解令S为 的全部 个循环排列的集合， 为出现模式 的循环排列的集合（ ）， 为出现模式 的循环排列的集合。若 且 是集合 中的不同整数，则 。 。因此，
她们可以有1625种方法改变座位。
第七章作业答案
(b)数字2和7不出现。
解因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。
①考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
②考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
③考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
④考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
1.设 表示斐波那契序列。通过用小的n值为下列每一个表达式赋值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。
（c）
（d）
解(c)对于小的n值，列出 和 的值如下。
n012345678
01123581321
0 0 1 4 12
猜测：
当 时， ，结论成立。
当 时， ，结论成立。
设 且 ，则
(d)对于小的n值，列出 和 的值如下。
解(a)用E表示向东步行1个街区，用N表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集 的排列。这样的排列的个数为 11440。
(b)若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集 的排列数，即 35。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集 的排列数，即 70。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。
解法二该序列的生成函数 。
因此， 。
30.确定苹果、桔子、香蕉和梨的袋装水果的袋数 的生成函数，其中各袋要有偶数个苹果，最多两个桔子，3的倍数个香蕉，最多一个梨。然后从该生成函数求出 的公式。
解生成函数
因此， 。
32.令 是由 定义的序列（ ）。确定该序列的生成函数。
解
两边求导数得到
两边再求导数得到
9.确定方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。
解引入新变量
则方程
满足
， ， ，
的整数解的个数等于方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。设S是方程 的所有非负整数解的集合，则 。设 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合，则 ， ， 。若 ，则 。因此，方程
⑤考虑4位整数。若千位数字大于5，有 个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有 个。
根据加法原理，符合条件的整数的个数为
8. 15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A的右侧，又有多少种围坐方式？
解15人围坐一个圆桌，有 种围坐方式。若B固定坐在A的左侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。若B固定坐在A的右侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。因此，B不挨着A坐的围坐方式有 种，B不坐在A的右侧的围坐方式有 种。
令 为 ， 为 ， 为 ，n为9，得到
因此， 的系数是
42.用牛顿二项式定理近似计算 。
解
第六章作业答案
3.求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解设S是从1到10000的整数的集合， 是从1到10000的完全平方数的集合， 是从1到10000的完全立方数的集合。因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为一个整数既是完全平方数也是完全立方数的充分必要条件是它是完全六次方数， ，所以 。从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数
第二章作业答案
7.证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a和b。若a和b被100除余数相同，则 能被100整除。若a和b被100除余数之和是100，则 能被100整除。
满足
， ， ，
的整数解的个数
24.把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？
(c)
×
×
×
×
×
×
×
×
解禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含3个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，则有1种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法， 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
6.面包店出售巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力、6个肉桂和3个素炸面包圈。如果一个盒子装12个面包圈，那么可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
解用a，b，c分别表示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本题要求的是多重集 的12-组合的个数。设S为 的所有12-组合的集合，则 。设 为 的所有至少有7个a的12-组合的集合， 为 的所有至少有7个b的12-组合的集合， 为 的所有至少有4个c的12-组合的集合。每个 的5-组合再加上7个a就得到一个至少有7个a的12-组合，所以 的至少有7个a的12-组合的个数等于 的5-组合的个数， 。同样可得到 ， 。 的至少有7个a和7个b的12-组合的个数 ， 的至少有7个a和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个b和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个a、7个b和4个c的12-组合的个数 。因此，T的12-组合的个数
14.一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
解由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出 个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。
17.证明：在一群 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
11.从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为 。
若甲和乙均入选，组队方法数为 + + 。
若甲入选且乙不入选，组队方法数为 + 。
证明因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n个人的熟人的数目是 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案
6.有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？
(a)各位数字互异。
26.计算 的排列 的个数，其中
； ； ； 以及 。
解所要求的排列个数等于把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数。
×
×
×
×
×
×
×
×
×
禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含4个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有4种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有2种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
解对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，因而 ，因此 。
该非齐次递推关系的一般解为 。
令 ，得 ，解得 。因此， 。
26.求解非齐次递推关系
（ ）
解法一对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，解得 。该非齐次递推关系的一般解为 。令 ，得 。因此， 。
S的有3个a3个b4个c的10-排列的个数为 。
S的10-排列的个数为 。
31.方程 有多少满足 ， ， ， 的整数解？
解进行变量代换：
， ， ，
则方程变为
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为