§12.2几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( × )题组二 教材改编2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)>P (C)＝P (D)>P (B)．4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D. 题组三 易错自纠5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算 答案 B解析 设阴影部分的面积为S ， 由几何概型可知S 4＝23⇒S ＝83.6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________． 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)． 由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0， 解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝2 3.与长度(角度)有关的几何概型1．设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13. 2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．答案 16解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.3．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形有关的几何概型例1 (2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 ∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总.∴p 1＝p 2. 故选A.命题点2 与简单的线性规划有关的几何概型例2 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.命题点3 与定积分有关的几何概型例3 (2020·四川双流中学检测)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－2π B.2π C.2π2 D ．1－2π2答案 A解析 S 矩形＝π×1＝π，又ʃπ0sin x d x ＝－cos x |π0＝－(cos π－cos 0)＝2， ∴S 阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.思维升华 (1)与平面图形有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． (2)与简单的线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解．(3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．跟踪训练1 (1)(2020·广西六市联合调研)如图所示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2 cm 的圆形铜片，中间有边长为1 cm 的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计)，则水滴正好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π 答案 D解析 由题意知S 铜片＝π×22＝4π， S 方孔＝12＝1，故所求概率为14π. (2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 答案 34解析 设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，通电y 秒后第二串彩灯闪亮． 依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，∴S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图可知，符合要求的S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴由几何概型的概率公式得P ＝S ′S ＝1216＝34.(3)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.与体积有关的几何概型例4 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A.π24B.π12C.π8D.π6 答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.(2)(2020·贵州省贵阳一中适应性考试)在正三棱锥A －BCD 中，△BCD 的边长为2，点E ，F ，G 分别是棱AD ，BD ，CD 的中点，且EF ＝FG ，随机在该三棱锥中任取一点P ，则点P 落在其内切球中的概率是________． 答案3π18解析 ∵点E ，F ，G 分别是棱AD ，BD ，CD 的中点， ∴EF ＝12AB ，FG ＝12BC ，又∵EF ＝FG ，∴AB ＝BC ＝2， ∴正三棱锥A －BCD 为正四面体，其体积V ＝13×12×2×2×sin 60°×263＝223，表面积S ＝4×12×2×2×sin 60°＝43，内切球的半径r ＝3V S ＝2243＝66，内切球的体积V 球＝43πr 3＝627π，∴所求概率P ＝V 球V ＝3π18.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．跟踪训练2 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1．在区间(0,100)内任取一数x ，则lg x >1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9 答案 D解析 由lg x >1，得x >10， 所以所求概率为P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cos x 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58 答案 B解析 cos x 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3. 由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.3．(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安联考)中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”．用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成．如图，正方形ABCD 是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖，已知4个直角三角形的两直角边分别为a ＝30 cm ，b ＝40 cm.若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的，则该小物体落在中间小正方形中的概率是( )A.125B.112C.625D.2425 答案 A解析 由题意可知S 正方形ABCD ＝2 500(cm 2)，中间的小正方形边长为b －a ＝10(cm)，S 小正方形＝100(cm 2)，故落在小正方形区域的概率为1002 500＝125.4.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.4π81 B.81－4π81 C.127 D.827 答案 C解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.6．某水池的容积是20立方米，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的水流速度都是1立方米/小时，它们在一昼夜内随机开0～24小时，则水池不溢出水的概率约为( ) A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.45 答案 B解析 设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，若水池不溢出水，则x ＋y ≤20，记“水池不溢出水”为事件M ，则M 所表示的区域面积为12×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式得P (M )＝200576≈0.35.7．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的阴影区域的面积为()()ππππ44sin cos d cos sin |x x x x x -=--⎰ ＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2. 又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.8．(2020·四川省成都七中模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 B解析 ∵a ，b 使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点， ∴Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π.所有事件是Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，∴该区域面积S 1＝(2π)2＝4π2，满足条件的事件是{(a ，b )|a 2＋b 2≥π}， ∴满足条件的区域面积S 2＝4π2－π2＝3π2， 则所求概率P ＝34.9．(2020·云南省昆明一中双基检测)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为________． 答案 13解析 只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13.10.如图所示，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．答案 12解析 当弦MN 的长度恰为2R 时，∠MON ＝π2，如图，当点N落在半圆弧NMN 上时，弦MN的长度不超过2R，故所求概率为P＝12. 11．(2020·西南名校联盟适应性考试)在区间(－1,1)内随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率为________．答案1 2解析如图，点(m，n)所在区域D为边长为2的正方形，关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实根的条件是n－4m≥0，满足条件的可行域如图阴影部分，其面积为2，所以所求概率为P＝24＝1 2.12．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<12V S －ABC 的概率是________． 答案 78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求， 由几何概型知，P ＝1－18＝78.13．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m (易知m >0)．当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.14．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________． 答案1 0131 152解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y－x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以此点取自空白部分的概率P ＝2π.。