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华工应用随机过程试卷及参考答案
∂(u,v) ⎪⎩ 0,其他;
⎧u
有U = X +Y~fU (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ∫ ⎨⎪ 0 λμe−(λ−μ)v−μudv,u > 0 ; =
⎪⎩ 0,其他;
⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e−μu − e−λu ⎤⎦,u > 0; ;从而, λ
−μ ⎣
⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;
⎧
e−(λ−μ)v
1、(1)E(XC)为C-可测的;
, (2)∀A∈C ∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dPC ⎤⎦; 2、
独立、平稳,1−λh+o(h),λh+o(h);
12
, 3、 N (0,t),{W (t),t ≥ 0},{W2 (t)−t,t ≥ 0} ⎧⎨eσW(t)−2σ t ,t ≥
0⎬⎫;
⎩⎭
、 ,随 4
⎪⎨⎧dX (t) = −g ⎡⎣X (t),Y (t)⎦⎤dt +Y (t)dW (t),t∈[0,T];
机微分方程处
⎪⎩ X (T) =ξ; 理问题的实质在于:尽管现在时刻投
资者无法预知将来某时刻的收益(随机变量),但 投资者仍可确切地计算出今天如何去做,才能达到 将来时刻的不确定收益! 二、证明分析题(选做一 题)
⎜ 2Yn ⋅E ⎟= ⎝ X n ⎠
程)! 三、 计算 证明题
1、(1)由几何分布的无记忆性, X −c X >c dX ,
E(X −cX > c)= EX = 1 ,E(XX > c)= E(X −c X > c)+ E(c X > c)= 1
+c ; λλ
(2)E(XX > c)= PE(⎣⎡{XIX{>X } >cc} ⎦⎤ ) ∫ ( ) = −+∞∞ xI{x>e c−}λfcX x dx = ∫ ; c+∞λexe−λc−λxdx =λ1 +c 2、(1)易见,(X,Y)~f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y > 0;,令⎧⎨U = X +Y ,从
⎪⎩ 0,其他; ⎩ V = X
而由⎧⎨u = x + y , ∂(u,v) = −1, ∂(x, y) = −1,从而
⎩ v = x ∂(x, y) ∂(u,v)
(X +Y, X ) = (U,V )~g(u,v) = ∂(x, y) ⋅ f (v,u −v) = ⎧ ⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u > v > 0 ; ,则
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
∫ ∫ ( ) ∫ ; (−∞,a]λ λe−(λ−λ)xdPX = (−∞,a]λλe−(λ−λ)x f x dx = 0 aλe−λxdx =1
, 2、由于 Xn+1~U (1− Xn,1),1− Xn+1~U (0, Xn ) 1− Xn+1 ~U
(0,11;且∀n≥0,
( ) E Yn+1 Fn = E⎛⎜Yn ⋅2⋅1− Xn+1 Fn ⎞⎟ =Yn为Fn −可测的2Yn ⋅E⎛⎜1− Xn+1 Fn ⎞⎟1− X n+1 独立于Fn
⎝ Xn ⎠ ⎝ Xn ⎠ Xn
⎛1− Xn+1 ⎞ Yn,a.s.,即有:{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅 (过
min{X1, X2,L, Xn},试由条件数学期望的一般定义
求E(X1Y) = (E X1 σ(Y));
5、(14 分)设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过 程,S0 = 0,Sn 表示第n个事件发生(到达)的时刻, 试求:(1)
P(N (s) =kN (t) = n)(s < t,k = 0,1,L,n);(2)E(SkN (t) = n),k ≤ n;
(2) _____________________________________________ ;
2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程,则 N (t) 具有_____ 、
_____增量,且∀t >0,h >0充分小,有:P({N (t + h)− N (t) = 0})=
E(XIA ) 忆性和E(X A) = ,求E(XX > c);
P(A) 2、(10 分,选做一题) (1)设 X~E(λ),Y~E(μ),λ> μ,且 X,Y 相互独立;∀c > 0,设 fX X +Y (x c)为给定 X +Y = c 时 X 的条件概率密 度,试求之并由此求
E(X X +Y = c);
( ) ∫ ( ) ∫ ; P 0 ≤Y ≤ 1− x2 X = x = f 0 1−x2 Y X y x dy = 0x∧ 1−x2 1x dy =1∧ 1−x x2
({ }) ( ) ( P X 2 +Y 2 ≤1 ∫ = −+∞∞ P X 2 +Y 2 ≤1 X = x fX (x)dx =∫01 P X 2 +Y 2
⎦ ⎣ ⎦ ( ) E ⎡⎣ (Y − X )2 X = x⎤ = E ⎡ (Y − x) 2X = x ⎤ = E Y 2 X = x − 2xE(Y X = x)+ x2 = x32 ;故有:E(Y X ) = X2 ,a ,E ⎣ ⎡(Y − X )2 X ⎦⎤ = X3 2 ,a.s.。
.s.
X~U [0,1];令Y X =x ~fY X (y x),即有:0 < x <1时,
f (x, y)
fY X (y x) = =
而,
1 =
,0 ≤ y ≤ x ,即:Y X x ~U [0,x],0 < x <1;从
fX (x) x
( ) ( ) ∀x∈(0,1),P X 2 +Y 2 ≤1 X = x = P − 1− x2 ≤ Y ≤ 1− x2 X = x =
得分
+σS(t)dW (t),利率为常数r 。定义风险的市场价格
为:Θ = μ−r 以及 状态价格密度过程 σ
为:ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝ r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭ ⎫⎬;a)证明:
dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ;b)设 X 表示投资者采用组 合过程Δ(t) 时其资产组合的价值(自融资组合), 即有: dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t),证明:ζ(t) X
4、易见,∀y < 0,P({Y ≤ y}) = 0;∀y >1,P({Y ≤ y}) =1;
n
∀y∈[0,1],P({Y ≤ y}) =1− P({Y > y}) =1−∏P({Xi > y}) =1−(1− y)n ; 从而,
1、(1)P(Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe−(λ−λ)X dP = ∫ ( ) R λλe−(λ−λ)xdPX ⎣⎡PX ⋅
− X的概率分布⎦⎤
X~f (x)∫R λλe−(λ−λ)x f (x)dx = ∫0+∞λe−λxdx =1;
(2)∀a>0,P({X ≤ a}) = ∫{X ≤a} ZdP = ∫ )X−1 dP =
⎩ 0,其他; 13 E(XX <Y) = ∫−+∞∞ xfXX<Y (x)dx = ∫012x(1− x)dx = ;
(2)易知,∀x∈(0,1),YX=x ~U [0, x],从而,E(Y X = x) = x,
2
x D(YX = x) = 12 2 ,E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ⎣⎡E(Y X = x)⎤⎦2 = x32 ,
⎧1
(2)设(X,Y)~f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;, 试求 fY X (y x)及 ⎪⎩ 0,其它;
P(X 2 +Y 2 ≤1X = x),并由此(连续型全概率公式)
求P({X 2 +Y 2 ≤1});
3、(4 分,选做一题)(1)设X,Y独立同U [0,1]分 布,试基于微元法由条件密度求E(XX <Y);(2)设 (X,Y)~U (D),D:0 ≤ y≤x≤1,试由条件数学期望的直观 方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y − X )2X ⎤⎦; 4、(10 分)设 X1, X2,L, Xn 独立同U [0,1]分布,Y =
程); 4、倒向随机微分方程(BSDE)典型的数学结构 为__________ ______________________________,其处理问题的 实质在于 ____________________________________________________ 二、证明分析题(共 12 分,选做一题) 得分 1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变 量,并且具有
指数分布,即:P({X ≤ a}) =1−e−λa ,a > 0,其中λ是正常 数。设λ是
另一个正常数,定义:Z = λ λe−(λ−λ)X ,由下式定
义:P(A)=∫AZdP,
∀A∈F ;(1)证明:P(Ω) =1;(2)在概率测度P 下 计算的分布函
数:P({X ≤ a}),a> 0;
2、设X0~U (0,1),Xn+1~U (1−Xn,1),n≥1,域流{Fn,n≥ 0}满 足:
6、(10 分)设{W (t),t ≥ 0}为标准 Brown 运动,试
由 Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程d ⎡⎣S(t)⎤⎦ =