高中物理模型——“子弹打木块”模型符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒。

重要结论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即：∆E fd =相对。

共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒，满足动量守恒定律和∆E f d =滑相对。

例1. 子弹质量为m ，以速度v 0水平打穿质量为M ，厚为d 的放在光滑水平面上的木块，子弹的速度变为v ，求此过程系统损失的机械能。

解析：mv mv Mv 0=+' ① 对子弹用动能定理： -+=-F s d mv mv f ()1212202②②式中s 为木块的对地位移对木块用动能定理： F s Mv f =-1202' ③由②③两式得：F d mv mv Mv f =-+1212120222(')④ 由①④两式解得：F d m MM m v M m v mv v f =--++220220[()()]例2. 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度v 0从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。

图1解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或动量守恒求出转化为内能的量Q 。

对物块，滑动摩擦力F f 做负功，由动能定理得： -+=-F d s mv mv f t ()1212202 即F f 对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力F f 对木块做正功，由动能定理得：F s Mv f =122 即F f 对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：F d s F s F d mv mv Mv f f f t ()+-==--1212120222 ① 本题中F mg f =μ，物块与木块相对静止时，v v t =，则上式可简化为：μmgd mv m M v t =-+1212022() ②又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：mv m M v t 0=+() ③联立式②、③得：d Mv g M m =+022μ()故系统机械能转化为内能的量为：Q F d mg Mv g M m Mmv M m f ==⋅+=+μμ020222()()点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即F s E f 相=∆。

例3. 如图2所示，两个小球A 和B 质量分别为m kg A =20.，m kg B =16.。

球A 静止在光滑水平面上的M 点，球B 在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A 运动。

假设两球相距L m ≤18时存在着恒定的斥力F ，L m >18时无相互作用力。

当两球相距最近时，它们间的距离为d m =2，此时球B 的速度是4m/s 。

求： （1）球B 的初速度；（2）两球之间的斥力大小；（3）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间。

图2解析：（1）设两球之间的斥力大小是F ，两球从开始相互作用到两球相距最近时所经历的时间是t ，当两球相距最近时球B 的速度是v m s B =4/，此时球A 的速度v A 与球B 的速度大小相等，v v m s A B ==4/。

由动量守恒定律可得： m v m v m v B B A A B B 0=+①代入数据解得v m s B 09=/（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时，它们之间的相对位移s L d =-，由功能关系可得：Fs m v m v m v B B A A B B =-+1212120222() ②代入数据解得F N =225.（3）根据动量定理，对A 球有： Ft m v t m v FA A A A=-=0， 代入数值解得t s s ==8225356..例4. 要发生核聚变反应12132401H H He n +→+，需使氘核和氚核具有足够的能量，用以克服原子核之间的库仑斥力做功，从而达到核力的作用距离（1015-m ）。

常用的方法是将这些氘和氚加热到几千万度以上的高温，在这种超高温状态下，原子中的电子很快游离出来，原子核处于离子状态。

已知中子的质量为m ，氘核、氚核的质量分别为m 1和m 2，氘核、氚核的质量分别为m 1和m 2，具有m m m 21323≈≈，氘核和氚核的电荷量都为q 。

（1）假设氘核和氚核以相等的速率在相距较远处沿同一直线相向运动，当两核距离最近为r 0时核力发生了作用，则两核的初动能分别为多大？（已知两点电荷相距无穷远时电势能为零，相距r 时的电势能为E kq q rp =12）。

（2）若两核反应后先形成动能为E 0的复合核，然后沿复合核运动方向放出中子和γ光子（不计γ光子的动量）转变成氦核。

设放出中子和γ光子后产生的氦核的速度为零，质量为m 3，求γ光子的频率。

解析：（1）设氘核和氚核的初速大小都为v 0，则当两核距离最小时，它们的速度相等，设都为v 1，则由动量守恒3232001mv mv m m v -=+() 解得v v 105=由动量守恒知，两核动能的减少等于增加的电势能：12321232021220()()m m v m m v k q r +-+=解得v kq mr 022512=所以氘核和氚核的动能分别为：E kq r E kq r k k 1202251258==， （2）设中子的速度大小为v 2，则由动量守恒得： 32002mv mv mv -= 所以v v 20=则中子的动能：E mv kq r 1222012524==光子的能量为：E h 2=ν反应过程中由质量亏损产生的能量为： E m m m m c 31232=+--() 由能量守恒得：E E E E 0312+=+解得ν=++---E h m m m m c h kq r h0123220524()例5. 一根不可伸长的长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端连接一个质量为M 的沙摆，沙摆静止。

如图3所示，一个质量为m 的子弹以初速度v 0沿水平方向射入沙摆而未穿出，若子弹射入时间忽略不计，求沙摆上摆的最大高度。

图3错解：子弹射入沙摆过程中，子弹沙摆组成的系统动量守恒，设两者共同速度为v 1，因此有mv M m v 01=+()所以子弹、沙摆的共同速度为v mv M m10=+此后子弹、沙摆一起上摆，由机械能守恒定律知：1212()()M m v M m gh +=+ 所以沙摆上摆的最大高度：h v g m v M m g==+12202222() 解析：本题的物理过程并不复杂，前面的解答思路基本正确，但结果不完整，因为沙摆上摆以后所能达到的最大摆角可能在90 以内，也可能超过90 ，甚至可以在竖直平面内做完整的圆周运动。

前面的解答只默认了最大摆角小于90这一情况，因而造成漏解。

子弹射入沙摆过程中，子弹、沙摆组成的系统动量守恒，因此： mv M m v 01=+()得到子弹、沙摆的共同速度为：v mv M m10=+1. 若v gl 12≤，沙摆的最大摆角不超过90，由机械能守恒定律知：1212()()M m v M m gh +=+所以沙摆上摆的最大高度：h v g m v M m g==+12202222() ①2. 若v gl 15≥，沙摆可以在竖直平面内做完整的圆周运动（在最高点速度不小于gl ），沙摆上摆的最大高度： h l =2②3. 若251gl v gl <<，沙摆的最大摆角超过了90，但又不能在竖直平面内做完整的圆周运动。

实际上当沙摆摆动到某一位置时，绳子会松弛。

设沙摆的速度为v 2，如图4所示，因此由机械能守恒，有：121121222()()(sin )()M m v M m gl M m v +=++++θ图4由重力的径向分力提供向心力，有：()sin ()M m g M m v l+=+θ22解得：v v gl v glgl2212122323=-=-，sin θ 以后沙摆将以v 2为初速做斜上抛运动，其竖直向上的分速度v v y =2cos θ，所以沙摆还能上升的高度为：h v g v gy==222222cos θ因此沙摆一共能上升的高度为：H l h =++(sin )1θ=+---l v gl g v gl g l ()[()]121222226329③其中v mv M m10=+综合以上①②③三式，才是本题的完整答案。

【巩固练习】矩形滑块由不同材料的上下两层粘结在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击上层，则子弹恰好不射出；若射击下层，则子弹整个儿恰好嵌入，则上述两种情况相比较（ ） A. 两次子弹对滑块做的功一样多； B. 两次滑块所受冲量一样大；C. 子弹嵌入下层过程中，系统产生的热量较多D. 子弹击中上层过程中，系统产生的热量较多图5【参考答案】A B。