第六章、参数估计四、计算题：1．解：因为总体X 的概率密度1,0(,)0,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它，其中只有一个未知参数θ，所以只需考虑总体X 的一阶原点矩101.2X E X x dx θθνθ==⋅=⎰（）（） 用样本一阶原点矩111ni i V X n==∑作为总体一阶原点矩 1X ν（）的估计量，即有 112ni i X nθ==∑.由此解得θ的矩估计量 12ˆ2ni i X X nθ===∑，而θ的矩估计值就是 12ˆ2nii xx nθ===∑2．解：由于总体X 服从正态分布2N μσ（，），即22()2(),x u f x x σ--=-∞<<+∞总体X 的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有122222[].X E X X E X D X E X νμνσμ====+=+（）（）（）（）（）于是，按矩估计法得方程组1222111n ii nii X n X n μσμ==⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑取得μ及2σ的矩估计量为1222211111()n i i nni i i i X Xn X X X X n nμσ===⎧==⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑∑而μ及2σ的矩估计值就是122111()n i i ni i x xn x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑3．解：因为总体X 的概率分布 (,),0,1,2,!xp x ex x λλλ-==中只有一个未知参数λ，所以只需考虑总体X 的一阶原点矩1.!xx X E X x ex λλνλ∞-===⋅=∑（）（）用样本一阶原点矩111ni i V X n==∑作为总体一阶原点矩 1X ν（）的估计量，即有 11ni i X nλ==∑由此解得λ的矩估计量 11ni i X X n λ===∑，而λ的矩估计值就是 11nii xx nλ===∑4．解：由于总体X 服从正态分布2N μσ（，），即22()2(),x u f x x σ--=-∞<<+∞故似然函数为22221()211()2(,)i n i i x ni x nL eμσμσμσ=--=--=∑=∏取对数，得2211(,)ln(2)ln ()22nii n lnL n xμσπσμσ==----∑对μ及σ求偏导数，并让它们等于零，得似然方程组212311()01()0nii nii lnL xlnL nxμμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩∑∑解此方程组，即得μ及σ的最大似然估计值为11n i i x xn μσσ=⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑ 5．解：因为总体X 的概率分布 (,),0,1,2,!xp x ex x λλλ-==故似然函数为111()()!(!)niii x x nnni i ii L e ex xλλλλλ=--==∑==∏∏取对数，得11ln ()()ln ln(!)nni ii i L x x n λλλ===--∑∑对λ求导数，并让它等于零，得似然方程1ln ()10nii d L xn d λλλ==-=∑解方程，即得λ的最大似然估计值为11nii xx nλ===∑6．解：由于总体X 的概率密度为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩故似然函数为11()()niii nx x ni L eeλλλλλ=--=∑==∏取对数，得1ln ()ln ni i L n x λλλ==-∑对λ求导数，并让它等于零，得似然方程1ln ()0nii d L nxd λλλ==-=∑ .由此解得λ的最大似然估计值为11111nniii i nxxx nλ=====∑∑ .7．解：由于总体X 服从“0—1”分布，即()()1,1,0,1xxP x p pp x -=-=故似然函数为1111()(1)(1)nniii ii i nx n x x x i L p p p pp ==--=∑∑=-=-∏取对数，得11ln ()()ln ()ln(1).n ni i i i L p x p n x p ===⋅+-⋅-∑∑对p 求导数，并让它等于零，得似然方程11ln ()11()01nniii i d L p x n x dppp ===+-=-∑∑.由此解得p 的最大似然估计值为11nii p xx n===∑ .8．解：由于总体X 服从几何分布，即()()1,1,1,2x p x p p p x -=-=⋅⋅⋅故似然函数为111()(1)(1)ni i i nx nx ni L p p p p p =--=∑=-=-∏取对数，得1ln ()ln ()ln(1).ni i L p n p x n p ==+-⋅-∑对p 求导数，并让它等于零，得似然方程1ln ()1()01ni i d L p n x n dpp p ==+-=-∑.由此解得p 的最大似然估计值为 11111nniii i np xxxn=====∑∑9．解：由于总体X 的概率密度为1,01()0,x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其他故似然函数为11()nii L xθθθ-==∏取对数，得1111ln ()ln()[ln (1)ln ]ln (1)ln .n nii i i n i i L xx n x θθθθθθθ-=====+-=+-∑∑∑对θ求导数，并让它等于零，得似然方程1ln ()ln 0nii d L nxd θθθ==+=∑由此解得θ的最大似然估计值为1ln nii nxθ==-∑ .10．解：（1）由于总体X 的概率密度为1,01()0,x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其他根据数学期望的定义11()1E X x f x dxx x dx θθθθ+∞-∞-=⋅=⋅=+⎰⎰（2）用样本一阶原点矩111ni i V X n==∑作为 1X ν（）的估计量，即有 1111.1ni i X E X V X X nθνθ======+∑（）（）由此解得θ的矩估计量为 1X Xθ=-而θ的矩估计值就是 1x xθ=-五、证明题：1．证：由于12,,,nX X X 是X 的样本，故12,,,n X X X 相互独立，且与总体X 服从相同的分布，从而21,2,,i i EX EX D X D X i n μσ=====故 11111()nni ii i E X E X EX n nnnμμ=====⋅=∑∑即 X 是μ的无偏估计量 2．证：由于12,,,nX X X 是X 的样本，故12,,,n X X X 相互独立，且与总体X 服从相同的分布，从而2222222212221,()1()()1i i i i i ni i ni i E X E X D X D X E X D X E X E XD XE X D X nD X nnμσσμμσμμ=======+=+=+=+=+=+∑∑22221122212222211()()111[()]11[()()]1nni i i i ni i S X X X n X n n E S E E X nE X n n n n nσσμμσ====-=---=--=⋅+-+-=∑∑∑3．证：设 1niii c Xμ==∑是总体均值μ的线性无偏估计量，则1111()()n n nni i iiii i i i i E E c X c EXc c μμμμ=========∑∑∑∑故11nii c==∑从而 222221111()()n n nni i ii ii i i i i D D c X cD X cc μσσ========⋅∑∑∑∑又2222211122221111()2()nnni ii ji i i j nnnnii j ii i j ni c cc c cc c n c ==≤<≤=≤<≤===+≤++=∑∑∑∑∑∑即211ni i c n=≥∑故 2221()ni i D c D X nσμσ==⋅≥=∑X 是总体均值μ的一切无偏估计量中最有效的. 4．证：因为12,,,nX X X 相X 服从相同的分布，且与总体X 服从相同的分布，所以，由切比雪夫定理的推论可知：对于任意给定的正数ε，有11lim ()1ni n i P X nμε→∞=-<=∑，即 lim ()1n n P X με→∞-<=.所以n X 是μ的一致估计量.。