原点矩 vk （k 1,2,L ,l ）分别作为总体前l 阶原
点矩 ak （k 1,2,L ,l）的估计量，建立方程组
a1(1,2, ,l ) v1
a2(1,2, ,l ) v2 a(1,2, ,l ) vl
（6.1）
这是一个包含未知参数1,2,L ,l 的联立方程
组，称为矩方程组．
解方程组 , 得 m 个统计量：
6.1.1 点估计的概念
设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样 本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计 问题.
一般地，设总体 X 的分布中含有未知参数 ， 且 X1, X 2,L , X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ，
x1, x2,L , xn是相应的一个样本值．
估计降雨量
… …
参数估计 问题分为点估计问题与区间估计问题
点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的 估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围， 并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数 的真值.
§6.1 点估计及其求法
6.1.1 点估计的概念 6.1.2 矩估计法 6.1.3 最大似然估计法
ˆ1 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) LLLLLLL ˆm ( X 1 , X 2 ,L , X n )
未知参数
1, ,m
的矩估计量
代入一组样本值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m 个数:
ˆ1 ˆ1( x1, x2 ,L , xn ) LLLLLLLL ˆm ˆm ( x1, x2 ,L , xn )
未知参数
若 X 的前l阶原点矩ak E(X k )（k 1,2,L ,l）存 在 ， 则 ak E(X k ) （ k 1,2,L ,l ） 均 为 未 知 参 数
1,2,L ,l 的函数，记 ak E(X k )=ak (1,2,L ,l )（k 1,2,L ,l），
根据矩估计法的基本思想，以样本的前l 阶
6.1.2 、矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩估计法的具体做法如下： 设总体 X 的分布中仅含有l个未知参数
1,2,L ,l ，且 X1, X 2,L , X n是来自总体 X 的一个
样本．
6.1.2 矩估计法
当总体的各阶原点矩未知时，我们可以用样本的 前l 阶原点矩 Ak (k 1, 2,L ,l)作为总体的前l 阶原点矩ak （k 1,2,L ,l）的估计量． 2 进一步，也可以用样本原点矩的连续函数 g( A1, A2,L , Al ) 作 为 总 体 原 点 矩 的 连 续 函 数 g(a1, a2,L , al )的估计量，这就是矩估计法的基本思 想．
CHAP6 参数估计
§6.1 点估计及其求法 §6.2 估计量的评选标准 §6.3 区间估计 § 6.4 样本容量的确定
参数估计
参数在估参计数问估题计是问利题用中从，总假体定抽总样体得分到布的信息 来估形计式总已体知的，某未些知参的数仅或仅者是参一数个的或某几些个函数.
参数. 估计新生儿的体重
估计废品率 估计湖中鱼数
参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
这恰好符合大数定律．
矩法的优点是简单易行,并不需要事先知 道总体是什么分布 .
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时，选取 那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随 意性 .
6.1.3 最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种
若构造一个适当的统计量ˆ X1, X 2,L , X n ，用 其 观 测 值 ˆ x1, x2,L , xn 作 为 的 近 似 值 ， 则 称 ˆ X1, X 2,L , X n 是 的 一 个 估 计 量 ， 并 称 ˆ x1, x2,L , xn 是 的一个估计值．
的估计量与估计值统称估计，并都简记为ˆ．
估计.
例6.2 设总体 X在 [a,b] 上服从均匀分布, a,b 未知.
X 1 , X2,,Xn是来自 X的样本, 试求 a,b 的矩估计
量.
解
a 1E (X ) (a b )/2 ,
a 2 E (X 2 ) D (X ) [E (X )2]
( b a ) 2 /1 ( 2 a b ) 2 /4 ,
设 X1, X 2,L , X10为总体 X 的一个容量为 10 的样本， 按矩估计法，p 的矩估计量为
pˆ X
现在得到的样本值 x1,x2
,L
11,0x10i1中01 X有i ．8
个“0”和
2
个“1”
于是 p 的矩估计值为
pˆ
1 10
10 i1
xi
2． 10
由此可见，次品率的矩估计即为次品出现的频率，
即 ab2a1, ba 12 (a2a12).
解得
注意到 以
v1, v2
aa1 3(a2a12), ba1 3(a2a12).
n 1i n 1X i2X 2n 1i n 1(X iX )2,
代替 a1,a2, 得到 a,b的矩估计量分别为
aˆX
3 n
n i1
(Xi
X)2,
bˆX
3 n
n i1
(Xi
X)2.
例 6．3 设有一大批产品，其次品率 p0 p 1
是未知的．现从中随机抽出 10 件，发现 2 件次
品．试求 p 的矩估计值．
解 若次品用“1”表示，正品用“0”表示，
则总体 X 服从参数为 p 的（0-1）分布，即
PX 1 p, PX 0 1 p．
于是
E X 1 p 01 p p．
1, ,m
的矩估计值
例6.1 设总体 X的概率密度为
(1)x, 0x1
f(x)
0,
, 其它
其中1是未知参数, X 1,X 2 ,X n是取自 X的 样本, 求参数的矩估计.
解 数学期望是一阶原点矩
a1E(X)01(1)xdx
(1)1x1d 0
x 1 2,
其样本矩为 X12, 而 ˆ 21XX1, 即为 的矩