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新课标高考第二轮总复习•理科数学
考点一 三角形边角的求解 [例 4] 在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范 围是__________． [解析] 通性通法：将四边形分割为三角形，将问题转化为求函数的值域．
3＋2－2×
3×
2×
6－ 4
2＝
6＋ 2
2 .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)求△BPC 周长的最大值． 解析：(2)由(1)可知 BC＝2 或 BC＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以 BC＝ 2. 设 BP＝m，PC＝n，则 m2＋n2＝4. 由于 BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求 BP＋PC＝m＋n 的最大值 即可． 又 4＝m2＋n2≥m＋2 n2，则 m＋n≤2 2， 当且仅当 m＝n＝ 2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为 2＋2 2.
a
b
c
sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．
a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、周长及面积
突破定理正用、逆用、变形用 [例 1] (本题满分 12 分)(2019·合肥二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c.已知 bsinC－π3－csin B＝0. (1)求角 C 的值； (2)若 a＝4，c＝2 7，求△ABC 的面积．
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
解析：(1)在 Rt△PAB 中，∠PAB＝90°，∠APB＝60°，PA＝1，
∴AB＝ 3.
在
Rt△PAC
中，∠PAC＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝
3 3.
在△ACB 中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
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[自我总结] _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
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2．在△ABC 中，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B． 3．若三角形 ABC 为锐角三角形，则 A＋B>π2，sin A>cos B，cos A<sin B，a2＋b2>c2. 若三角形 ABC 为钝角三角形(假如 C 为钝角)，则 A＋B<π2，sin A<cos B，cos A>sin B． 4．在△ABC 中，ccos B＋bcos C＝__a__.
解析：(1)由题意知 1＝AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝3＋BC2－3BC，
解得 BC＝2(BC＝1 舍去，因为在 Rt△BPC 中，BC>BP＝ 2)，
则∠CAB＝90°.
又∠BPC＝90°，且 BP＝ 2，所以∠PBC＝45°，从而∠ABP＝75°.
连接 AP，由余弦定理得 AP＝
【知规则·规范解答】
①正弦定理运用正确．得 2 分 ②化简得到 sinC＋π3＝0.得 4 分
应用余弦定理得到关于 b 的一元二次方程．得 3 分
——采点得分说明
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1．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin A＋2 C＝bsin A. (1)求 B； 解析：(1)由题设及正弦定理得 sin Asin A＋2 C＝sin Bsin A. 因为 sin A≠0，所以 sin A＋2 C＝sin B．
解析：(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC＝ 43a.
由正弦定理得 a＝cssiinnCA＝sin1s2in0°C－C＝2tan3C＋12.
由于△ABC 为锐角三角形，故 0°<A<90°，0°<C<90°，由(1)知 A＋C＝120°，所以
30°<C<90°故12<a<2，从而
3 8 <S△ABC<
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
[自我总结] _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
∴BC＝ AC2＋AB2＝
332＋
32＝
330，
则船的航行速度为 330÷16＝2 30(千米/时)．
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(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的 D 处，问此时船距岛 A 有多远？
解析：(2)sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝BACB＝ 330＝130 10. 3
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【悟方法·善于总结】 1．将四边形分割为三角形． 2．把已知条件转化到同一个三角形中再运用正余弦定理． 3．先选已知条件较多的三角形求解．
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[自我总结] _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
BA
的长度为5 3
6 .
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3．如图，在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在岛北偏东 30°，俯角为 30°的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在 岛北偏西 60°，俯角为 60°的 C 处．
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B＋C 5．sin A＝sin(B＋C)，sin A2＝ cos 2 .
6.sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R.
由 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 的外接圆半径)．可推出
23.因此，△ABC
面积的取值范围是
83，
23.
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【悟方法·善于总结】 解三角形边角互化的主要途径与方法
途径一：化边为角
途径二：化角为边
(1)通过正弦定理实现边角互化
主要方法
(2)通过余弦定理实现边角互化 (3)通过三角变换找出角之间的关系
(4)选用已知角的面积公式实现边角互化
2 5.
在△BCD 中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2 2× 52＝25. 所以 BC＝5.
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2．(2017·安徽省“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠ABC＝ 30°，AB＝ 3，AC＝1，P 为 BC 右上方一点，满足∠BPC＝90°. (1)若 BP＝ 2，求 AP 的长；
专题一 三角函数与解三角形 第二讲 解三角形
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1．求三角形面积常用公式 S＝12(a＋b＋c)r(r 为内切圆半径)． S＝12 PP－aP－bP－cP＝12a＋b＋c. S＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C． S＝12ah1＝12bh2＝12ch3(h1，h2，h3 分别为边 a，b，c 上的高)．
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(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴b2＋4b－12＝0，(8 分) ∵b＞0， ∴b＝2，(10 分) ∴△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×2×4× 23＝2 3.
(12 分)
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∵∠DAC＝90°－60°＝30°，∴sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos 30°－
cos∠ACB·sin 30°＝130 10× 23－12×
1－130
102＝3
3－1 20
10 .
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在△ACD 中，由正弦定理，得sin∠ADDCA＝sin∠ACCDA，
sinB∠D A＝sin∠ABADB.
由题设知，sin545°＝sin∠2ADB，所以