线性变换在多变量函数积分学中的应用
在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。

而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。

线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。

下作讨论。

在O-XYZ 坐标系中，将一组基（X ，Y ，Z ）乘一个矩阵M 3×3，转化为另一组基（U ，V ，W ），这时Jacob 行列式为
)
,,()
,,(w v u z y x ∂∂=detM 1-=
M
det 1
，特别地,当M 为正交矩阵，
即进行正交变换，Jacob 行列式为1，在进行线性变换时，要合理选择M 。

1． 合理选择M ，化复杂区域为简单区域。

如计算由平行六面体
1111h z c y b x a ±=++2222h z c y b x a ±=++,
3333h z c y b x a ±=++围成的体积, 线性变换后,此空间不规则区域可化为标准长方体,
只需另u z c y b x a =++111，v z c by x a =++22,w z c y b x a =++333,
易确定-h1≤u ≤h1, -h2≤v ≤h2, -h3≤w ≤h3,
)
,,(),,(w v u z y x ∂∂=
3
3
3
2221111c b a c b a c b a 。

于是V=
⎰⎰⎰
v
dxdydz=
⎰
⎰⎰
---1
1
22
3
3
h h h h h h dv du 3
3
3
2221111c b a c b a c b a dw=。

3
3
3
2221113218c b a c b a c b a h h h 。

这样看问题，避免了为确定积分限而进行的复杂计算，而且x,y,z 地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。

2． 合理选择M ，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规则曲线。

在曲线积分中，若易找出r(t),则计算简便，但若曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜”的平面上，线性变换可化到O-XYZ 平面上，便于研究。

如计算dl x l
⎰
2
，l :球面2
222a z y x =++与
0=++z y x 交线。

分析此问题，由于x,y,z 对称，可考虑⎰⎰⎰
=++=
l l l dl a dl z y x dl x ,3
1)(3122
222
本文不再讨论，事实上，观察知，l 是0=++z y x 平面上的圆，半径为,a 圆心在原点，考虑变换到O UVW -坐标系中，使此圆落在ouv 平面内，圆方程为
0,122==+w v u 。

在O-XYZ 系中，三个基向量k j i ,,，在O UVW -系中，三个基向量为321,,e e e
，
令3
3k
j i e
++=
，则⊥3e 圆所在平面。

再找21,e e
，利用正交性，可令
,6
22k
j i e
-+=
于是1e 被完全确定为2
32j
i e e
-=⨯。

至此,
2,62,03y x u z
y x v z
y x w -=-+==++=
于是，
dl x l
⎰2=dl v
u
dl w v u l
l
22)6
2(
)3
6
2
(+=+
+⎰⎰，再令,
sin ,cos θθa v a u ==易得结果。

3． 最后，举一例作为正交变换应用的说明
求
,2
2
2dxdy e cz bxy ax
⎰⎰
∞∞-∞
∞
-++其中0,02<->ac b a
分析：这与
dx e x ⎰
∞
∞
-2
似乎有关系，如何转化？
因为()c
b b a y x
c b b a y x
cy bxy ax ,
)(22
2
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯=++定正。

故P ∃正交，使,''⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛y x P y x 即A ∃正交，使得,0021
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλA c b b a A 且1det ,21222122=+=++-P y x cy bxy ax λλ，
原式=
2
11
λλ2
2121)'()'(2
'22
'
1b ac y d e
x d e
y x -==
⎰⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-π
λλπλλλλ。

从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分
区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。

学科交叉可以给我们更多的思考。