即
x* x x
r
，
r。 x
14
实际中， 当
x
是未知的，可用 x
*
代替。
较小时，因两者的差为:
* 2 2 *
( x x )
x x x x
*
x x x
*
* x 2 O ( ) r x
是
r
的高阶无穷小，可忽略不计。
9
截断误差（方法误差 ） 数学模型转化成数值问题时，由离散化，有限 展开等操作造成的近似解与精确解之间的误差。
2 4 6 n2 n x x x (1 ) x o s x 1 L L • 例：c 2 4 ! 6 ! ( 2 n ) !
2 x 当 x 很小时，可用 1 作为 cos x 2 4 x 的近似值，其截断误差小于 。
误差无法计算 ，但可以估计出它的上界 。 * * x 即 x x ，称 是近似值 的误差限， * * 即 x x x 。
13
• 相对误差与相对误差限 称
e x x x x
*
为近似值 x 的相对误差，
*
记作 e r 。
相对误差是个相对数，无量纲， 可正可负。 相对误差的估计，称为相对误差限
2 4
10
一般地，对函数
f ( x ) 用Taylor展开，用多项式
' ' ' ( n ) f ( 0 ) f ( 0 )2 f ( 0 )n P ( x ) f ( 0 ) x x x n 1 ! 2 ! n !
近似代替，则数值方法的截断误差为
n 1 ) f( () n 1 Rx () f () x P () x x n n ( n 1 ) !
*
e x x er * * x x
15
• 有效数字 定义：如果近似值 x
*
1 n 1 0 的误差限是 (某一位 2
* x 数的半个单位)， 则称 准确到小数点后n位，并从第一
个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。
例：π ＝3.1415926535, 3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。
6
设计算法所要考虑的问题: 1.计算速度 例如,求解一个20阶线性方程组，用消 元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则 20 要进行 9.710 次运算，如用每秒1亿次 乘法运算的计算机要30万年。 2.存储量 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性 在大量计算中，误差不可避免，能否 控制误差与算法有关。
1 0 . 0 0 3 4 0 0 1 05 近似值准确到小数点后 例： x 2
*
五位，有三位有效数字。
16
有效数字与（绝对）误差限的关系：
* m x 有n位有效数字，标准形式为 x a a L a 1 0 ， 1 2 n
*
1 mn 1 x 1 0 （精确到小数点后m则有 x 2 n+1位） 。
4
主要内容:
1. 数值逼近：插值 数值逼近 数值微分和数值积分 2. 数值代数： 解线性方程组的直接解法 解线性方程组的间接方法 求矩阵特征值与特征向量 3.方程求解：非线性方程的数值解法 常微分方程的数值解法 偏微分方程的数值解法
5
特点： 1. 面向计算机（以离散为特征） 四则运算、逻辑运算 一些简单的函数计算 近似计算 2. 有可靠的理论分析 （收敛性、稳定性、误差分析） 3. 要有好的计算复杂性（时间、空间） 4. 要有数值试验（有效性）
2
数值分析（数值计算方法）： 研究适合计算机进行科学计算的方法。 解决科学技术和工程问题的步骤： 实际问题 建立数学 模 型 研究计算方法 编程上机计算 求出 结 果
3
计 算 工 具 ： 数 值 算 法 领 域 的 工 作 者 为 许 多 基 本 问 题 设 计 了 一 些 基 本 算 法 ， 并 把 他 们 设 计 成 容 易 调 用 的 软 件 包 。 常 用 软 件 ： M a tla b ， M a p le ， M a th e m a tic a
*
有效位数越多，（绝对）误差限越小。
* * 5 例 ： x 1 2 3 4 5 6 . 7 8 9 , n 9 ; x 1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 ， m 5 .
11
舍入误差 计算机的字长是有限的，每一步运算均 需四舍五入，由此产出的误差称舍入误差。 例：π 、1／3，……取小数点8位、16位。
假设模型合理——模型误差为0 观测准确——观测误差为0 主要讨论截断误差和舍入误差 所带来的影响。
12
§2误差的基本概念 • （绝对）误差与（绝对）误差限
x 精确值， x * 是它的近似值。 * （绝对）误差 e x x 误差是有量纲的，可正可负。
教 材 ： 现 代 数 值 计 算 考 试 方 式 ： 课 堂 闭 卷 作 业 ： 20%， 上 机 ：： 1. 李 庆 扬 等 ， 《 数 值 分 析 》 ， 华 中 理 工 大 学 出 版 社 ， 1994 2. 丁 丽 娟 等 ， 《 数 值 计 算 方 法 》 ， 北 京 理 工 大 学 ， 1998 3 . D a v i d K i n c a i d ，W a r d C h e n e y ， 王 国 荣 等 译 《数值分析》第三版 4. 施 妙 根 等 ， 《 科 学 计 算 基 础 》 ， 清 华 大 学 出 版 社 ， 1999 5. 关 治 、 陆 金 甫 ， 《 数 值 分 析 基 础 》 ， 高 等 教 育 出 版 社 ， 1998
7
第一章
误差
§1 误 差 的 来 源 误差的来源与种类 实际问题 建立数学模型 研究计算方法 编程上机计算 求出结果 1 .模 型 误 差 2 .观 测 误 差 3 .截 断 误 差 （ 方 法 误 差 ） 4 .舍 入 误 差
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模型误差: 在建立数学模型过程中，不可能将 所有因素均考虑，必然要进行必要 的简化，这就带来了与实际问题的 误差。 观测误差 数学模型中的参数往往靠观测所得， 由观测数据带来的误差。