π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2π a πy2 dx 2
0
π a πy2 dx
0
O
y πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cos t) d t 0
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
A( y) 2x y tan
2 tan y R2 y2
V 2 tan
R
y
R2 y2 dy
0
y
R
O
R (x, y)
时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线)
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
y
t
x
O
点击图片任意处 播放开始或暂停Hale Waihona Puke 类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、y d 及 y 轴所围成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体
积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
a 2
2
3
a 2
2
3
V
a
a3
x3
dx
2
0
a3
x3
dx
32 a3 . 105
星形线
2
2
2
或 x3 y 3 a 3 (a 0)
星形线是内摆线的一种.(当小圆在圆内沿圆周滚动
体积元素为
P
dV [PM 2 QM 2 ]dy
[(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
dy Q M 3
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
v
（二）利用坐标平移： P
x u 3
y
v
3u
在uov坐标系下旋转体即为即抛物线v 4 (u 3)2
与v=0所围成的图形绕v轴旋转所得。
1
16.
2. 设
在 x ≥ 0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:
y f (x)
证: 利用柱壳法
t
V (t) 0 2 π (t x) f (x) d x
t
t
O
2 πt0 f (x)d x 2 π 0 x f (x)d x
xt x xdx
V
(t )
2
π
t
0
f
(x)
d
x
2
π
t
f
(t
)
2
π
t
f
(t
)
故 V (t) 2 π f (t)
3. 设平面图形 A 由 x 2 y 2 2x 与 y x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：选 x 为积分变量.
y yx
由柱壳法旋转体的体积为
V 2 π
1
(2 x)(
x
三、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
dS 2πyds
y f (x)
y
积分后得旋转体的侧面积
S 2 π
b
f (x)
1 f 2 (x) dx
a
Oa x
bx
注：
圆台测面积=（上底半径+下底半径）斜高 S [ f (x) f (x x)]ds
b
V 2 (m x) | f (x) | dx (※)——柱壳法 a
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可 用定积分来计算.
A( x) 表示过点
x 且垂直于x 轴 o a
的截面面积，
x x dx b
x
绕垂直于坐标轴的直线旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
旋转体的侧面积 (补充)
思考与练习.
1. 求曲线 xy 4， y 1， x 0所围成的 图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.
解：
xy 4 y1
交点 (4,1),
y
y1
立体体积
o
x
Vy
1
x2dy
1
1y62 dy
16 y
2x x2 x)dx
0
1 π2 2 π 23
1
y
O x 1 2x
若选 y 为积分变量, 则
V π
1 2 (1
0
1 y2 ) 2dy π
1(2 y)2 dy
0
4. 求曲线 y 3 x2 1 与x 轴围成的封闭图形绕直线
y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研)
解: 利用对称性, 在第一象限
A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积
V
b
A( x)dx.
a
例 4 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面
交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解: 取坐标系如图
底圆方程为
R
o
y
x2 y2 R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
π (u 2 2 π u π2 ) sin u 2(u π)sin 2 u
π
sin3 u d u
4 π
π
u sin ud u 4 π
π sin 2 udu
0
0
分部积分
π
2 2 sin2 udu 0
4 π2 8 π 2 sin 2ud u 0
(利用“偶倍奇零”)
4 π2 8 π 1 π 22
y
x 4
2 2, x2 ,
0 x1
1 x 2
y
3B A
故旋转体体积为
C
V
2 π32 2 2
1
π [3
(x2
2)]2
d
x
0
O 1 2x
2 2 π[3 (4 x2 )]2 d x 1
36 π 2 π
12(1x2
x 21) 2
d
x
448 2π
π2
(
x
2
1) 2
d
x
0
15 1
利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
0
02
2
32 π a3
π 2
sin 6
u
d
u
32
π
a3
5
3
1
π
0
6422
5π2 a3
y
x x2 ( y)
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
x x1( y)
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
2a3
2
(t
sin t)(1
cos t)2 dt
63a3 .
0
注：
2a3 2 (t sin t)(1 cos t)2 dt 0
8 π a3 2 π (t sin t) sin 4 t d t
0
d S 2 π y ds 2 πy dx
原因是 2 π y dx 不是薄片侧面积△S 的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程