4
[(4
y)
1
y2
]dy
0
2
(4
y
1 2
y
2
1 6
y3
)
|04
4 4 1 42 1 43 40
26
3
例１
练习 1： 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所
围成的图形的面积.
解1 求两曲线的交点:
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y 2x
S1 S1
2
S2
y x4
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y x2
y

x2
(0,0),(2,4),(3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A
0
( 2
x
3
6x
x2
)dx
3
0
(x2
x3
6
x)dx
图y3.如图
a
b
0
x
oa b
bx
A2
[
a
f2(x)
f1( x)]dx
图4.如图
y
y f2(x)
a
0
bx
y f (x) b
A3 a f ( x)dx
b
b
y
f1
(
x) b
A4 a f2( x)dx a f1(x)dx a [ f2(x) f1(x)]dx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
例 2.计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所围
成的图形的面积.
解:作出y=x-4, y 2x 的图象
如图所示:
解方程组
y y
x
2x 得 4
:
{x=8 y=4
,
直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
y 2x
S2 S1
y x4
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
s 8 2xdx 1 4 (8 4)
0
2
2
2 2x
2
3
16
3 2
2
|80
8
8
40
3
3
s
253. 12
说明：
y x2
A1
注意各积分区间上被积函数的形式．
A2
y x3 6x
例４
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
1.7.1定积分在几何中的应用
复习引入
1.微积分基本定理: [其中F’(x)=f(x) ]
b a
f
(x)dx
F(x) |ba
F(b)
F (a)
练习：(1) 2 sin2 x cos xdx 0
(2)0 sin mxdx
(3) 1 e2xdx 0
1x
(4) 0 1 x2 dx
我们知道定积分 b f ( x)dx 的几何意义： a
8
y2 2x
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
练习 2: 计算由曲线 y x3 6x和 y x2 所围
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线 x a, x b之间的各部分面积的代数和.(在 x 轴
上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)
思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
y y f (x)
图y2.如图
y f2(x)
y f1( x)
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
y
y y2 xx B
C
y x2
o y xx2
1 xdx 1 x2dx
0
0
O
DA
S =
1
(
0
x - x2)dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
1. 3