右观
当特定的模式被激活时，右特征向量vi中第k 个元素vki 给出 了状态变量xk 在第i个模式中的活动状况。模表征活动程度， 角度表征状态变量关于模式的相位移。
电力系统小干扰稳定性分析
¾ 5） 可控性
⎡ z1 ⎤ ⎡ u11 u21 ⎢ z ⎥ ⎢u ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 12 u22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ zn ⎦ ⎣u1n u2 n un1 ⎤ ⎡ Δx1 ⎤ ⎢ Δx ⎥ un 2 ⎥ ⎥⋅⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ unn ⎦ ⎣ Δxn ⎦
λ jt
可控可观的综合体现
电力系统小干扰稳定性分析
三、电力系统的振荡分析
¾ 含 m 台发电机的电力系统，机电振荡模式为（m－1）个 ¾ 本地模式 1-2 Hz，区间模式 0.1-0.7Hz
电力系统小干扰稳定性分析
电力系统小干扰稳定性分析步骤:
1）对系统进行线性化，计算得到特征根，左、右特征向量，参与向量 （机电模式相关比）； 2）利用指定模式的参与向量（机电模式相关比）辨识机电振荡模式（参 与向量中模值最大分量对应于δ或ω，则为机电模式）； 3）利用右特征向量中与转速相关的分量识别振荡模态（模值相差不大， 方向基本相同的为同调机群）； 4）在参与向量转子速度分量较大的机组上，加装PSS抑制振荡。
电力系统小干扰稳定性分析
根据右特征向量的定义，有：
⎡ a11 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ an1 a1n ⎤ ⎥ v v ⎥[ 1 2 ann ⎥ ⎦ ⎡λ1 vn ] ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ λn ⎥ ⎦
vn ] = [ v1 v2
AX R = X R Λ
电力系统小干扰稳定性分析
根据左特征向量的定义，有：
特征值的实部刻画了系统对振荡的阻尼，虚部指出了振荡的频率
振荡频率
ω f = 2π
阻尼比
ξ=
−σ
σ 2 + ω2
电力系统小干扰稳定性分析
¾ 4） 可观性
⎡ Δx1 ⎤ ⎡ v11 v12 ⎢ Δx ⎥ ⎢v ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 v22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ x Δ ⎣ n ⎦ ⎣ vn1 vn 2 v1n ⎤ ⎡ z1 (t ) ⎤ ⎢ z (t ) ⎥ v2 n ⎥ ⎥⋅⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ vnn ⎦ ⎣ zn (t ) ⎦
时域仿真法 施加扰动并进行积分计算
优点： 详细计及系统所有元件的非线性， 可靠
缺点： 1）绘制系统的全部动态不现实 2）时域仿真结果多模耦合 3）不能解释现象 4）对控制器的布点和设计没有帮助
优点： 1）只需一次特征求解 2）分别研究各个振荡模式 3）可对稳定现象进行解释 4）为控制器的布点和设计提 供重要信息
⎡ Δx1 (t ) ⎤ ⎡ v11 v12 ⎢ Δx (t ) ⎥ ⎢ v ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 v22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ x ( t ) Δ ⎣ n ⎦ ⎣ vn1 vn 2
n
i
Z = ΛZ
i
v1n ⎤ ⎡ z1 (0)eλ1t ⎤ ⎢ λ2t ⎥ v2 n ⎥ z (0) e ⎥ ⎥⋅⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ λn t ⎥ vnn ⎦ ⎢ ⎣ zn (0)e ⎥ ⎦
X L A = ΛX R
X L X R Λ = ΛX L X R
电力系统小干扰稳定性分析
X L X R Λ = ΛX L X R
↙
T ⎡u1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ v1 T⎥ ⎢un ⎣ ⎦
↘
⎤ ⎥ ⎥ λn ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ λn ⎥ ⎦
⎡ λ1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
电力系统小干扰稳定性分析 ¾ 3） 动态系统的自由运动
ΔX = A ⋅ Δ X
i
dzi = λi zi dt
（i=1, n）
令ΔX = X R ⋅ Z，则Z＝X L ⋅ ΔX
X R ⋅ Z = AX R Z
Z = X L AX R Z
i
zi (t ) = zi (0) ⋅ eλit zi (0) = uiT ⋅ ΔX (0)
↑
Δxi (t ) = ∑ vij z j (0) ⋅ e
j =1 n
⎡ z1 (0) e λ1t ⎤ ⎢ λ2 t ⎥ n z 2 (0) e ⎥ n λi t ⎢ vkn ] = ∑ vki u ki e = ∑ p ki e λi t ⎢ ⎥ i =1 i =1 ⎢ λn t ⎥ ⎢ ⎣ z n (0) e ⎥ ⎦
...
...
y= y (0)
∂ f1 ⎤ ∂y m ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂f n ⎥ ∂y m ⎥ ⎦ x= x(0)
∂ g1 ⎤ ∂y m ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂g m ⎥ ∂y m ⎥ ⎦ x = x (0)
y= y (0)
...
...
...
...
y = y (0)
y = y (0)
电力系统小干扰稳定性分析
T ⎡u1 ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ T⎥ ⎢un ⎣ an1 ⎣ ⎦⎢
a1n ⎤ ⎡λ1 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ann ⎥ ⎦ ⎢ ⎣
T ⎡ u ⎤ 1⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ T⎥ ⎢ λn ⎥ u ⎦⎣ n ⎦
X L A = ΛX L
电力系统小干扰稳定性分析
AX R = X R Λ
→
X L AX R = X L X R Λ
第七章 电力系统小干扰稳定性分析
电力系统小干扰稳定性分析
电力系统小干扰稳定性分析
一、小干扰稳定性概述
1、概念 大、小扰动后，电力系统不发生增幅或等幅振荡，则称系统小 干扰稳定。 2、小干扰稳定性分析方法与时域仿真法的比较
电力系统小干扰稳定性分析
方法 手段 小干扰分析法 特征求解 缺点： 非线性特征被忽略，模型的 线性化和特征求解很困难
⎡ ∂ f1 ⎢ ∂y ⎢ 1 ∼ B=⎢ ⎢ ⎢ ∂f n ⎢ ⎣ ∂ y1
⎡ ∂ g1 ⎢ ∂y ⎢ 1 ∼ D=⎢ ⎢ ⎢ ∂g m ⎢ ⎣ ∂y1
...
...
∂ f1 ⎤ ∂xn ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂f n ⎥ ∂xn ⎥ ⎦ x= x(0)
∂g1 ⎤ ∂xn ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂g m ⎥ ∂xn ⎥ ⎦ x= x(0)
左控
当状态变量xk 均作一单位改变时，左特征向量uiT中第k 个 元素uki 表征了状态变量xk 对模式i的影响程度，即：状态变 量对模式的可控性。
电力系统小干扰稳定性分析
¾ 6） 参与因子
zi (0) = uiT ⋅ ΔX (0)
↓
被初值 Δ xk (0) = 1激活的 zi (0) = u ki ,以系数p ki参与在 响应 Δ xk (t )中。 Δ xk (t ) = [ vk 1
∼ ⎧ d Δx ∼ ⎪ dt = A ⋅ Δx + B ⋅ Δy ⎨ ⎪ ∼ ⋅ Δx + ∼ ⋅ Δy = 0 D ⎩C
(1) (2)
由（2）得：
代入（1）得：
∼
D ⋅ Δy = −C ⋅ Δx Δy = − D ⋅ C ⋅ Δx
∼ −1 ∼
∼
∼ ∼ −1 ∼ d Δx ∼ = A ⋅ Δx − B ⋅ D ⋅ C ⋅ Δx dt
vn ]
↓
T ⎡ λ u vj ⎤ j i ⎣ ⎦
↓ ＝
T ⎡ u λ ⎣ i i vj ⎤ ⎦
电力系统小干扰稳定性分析
有以下结论：
⎧0 u vj = ⎨ ⎩1
T i
(i ≠ j ) (i = j )
XLXR = I
X
AX R = X R Λ
→
−1 L
= XR
X L A = ΛX L
X L AX R = Λ
二、小干扰稳定性分析理论 ¾ 1） 特征值： 满足
det(λ I − A) = 0
⎡λ1 ⎢ Λ=⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ λn ⎥ ⎦
的 λ ，称矩阵A的特征值。
电力系统小干扰稳定性分析
¾ 2） 特征向量 • 右特征向量
Avi = λi vi
vi 称为矩阵A关于特征值 λi 的右特征向量，构成向量空间。
T ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ v ⎥ ⎢ ⎥[ 1 T ⎥ ⎢ u λn ⎥ ⎦⎣ n ⎦
⎡λ1 vn ] ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
vn ]
↓
↓
T ⎡ λ1u1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ v1 T ⎥ ⎢ λn u n ⎣ ⎦
T ⎡u1 v1 ⎢ ⎢ T ⎢un ⎣ v1
T u1 vn ⎤ ⎡λ1 ⎥⎢ ⎥⎢ T un vn ⎥ ⎣ ⎦⎢
电力系统小干扰稳定性分析
⎧ dx ⎪ = f ( x, y ) 3、模型 ⎨ dt ⎪ ⎩ g ( x, y ) = 0
式中：
⎡ ∂ f1 ⎢ ∂x ⎢ 1 ∼ A=⎢ ⎢ ⎢ ∂f n ⎢ ⎣ ∂ x1
⎡ ∂g1 ⎢ ∂x ⎢ 1 ∼ C =⎢ ⎢ ⎢ ∂g m ⎢ ⎣ ∂ x1
⎡ d Δx ⎤ ⎡ ∼ ∼ ⎤ ⎢ dt ⎥ = ⎢ A B ⎥ ⎡ Δx ⎤ ⎥ 线性化得： ⎢ ⎥ ⎢ ∼ ∼ ⎥⎢ y Δ ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ C D⎦
= ( A − B ⋅ D ⋅ C ) ⋅ Δx = A ⋅ Δx
∼
∼
∼ −1
∼
电力系统小干扰稳定性分析 小干扰稳定性分析的数学模型：
Δx = A ⋅ Δx
¾ A称为状态矩阵或系数矩阵，系统的稳定性取决于矩阵A 的性质。 ¾ 若A的特征根都具有负实部，系统在稳态运行情况下是 渐进稳定的。
i
电力系统小干扰稳定性分析
λ jt
¾ 系统的稳定性由特征值决定。
Δxi (t ) = ∑ vij z j (0) ⋅ e
j =1
电力系统小干扰稳定性分析 ¾ 复特征值总是以共轭对的形式出现：
λ = σ ± jω
（a + jb) ⋅ e(σ − jω ) t + （a − jb) ⋅ e(σ + jω ) t （a − jb) ⋅ (cos ωt + j sin ωt )] = eσ t（ [ a + jb) ⋅ (cos ωt − j sin ωt ) + = eσ t (2a ⋅ cos ωt + 2b ⋅ sin ωt ) = A ⋅ eσ t ⋅ sin(ωt + θ )