几何专题——辅助线平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。

一、辅助线的定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。

二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。

一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。

2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件三、正确添加辅助线歌人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证实有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证实是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证实题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注重勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时把握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。

五、总结常见添加辅助线的方法 （一）定义类：1、和角平分线有关的问题，通常可以作这个角的两边的平行线例1：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 交于D ，求证：AB ︰AC=BD ︰CDEABCD解析：这个习题的证实方法很多，但均离不开添加∠BAC 的两边的平行线。

①过D 做DE ∥AC 与AB 交于E 。

②过D 做DF ∥AB 与AC 交于F 。

③过B 做BH ∥AC 与AD 交于H 。

④过C 做CG ∥AB 与AD 的延长线交于G 。

2、如遇垂直平分线的问题，往往构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题例2：已知在三角形ABC 中，BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的高，G 、F 为分别为ED 、BC 的中点，求证：FG ⊥EDjGDEF B CA分析：G 是ED 的中点，要证实FG ⊥ED ，说明FG 必为ED 的垂直平分线，自然考虑添加辅助线DF 与EF ，只要证得DF 与EF 相等，就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。

（二）、梯形问题。

梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形有那么多性质，所以有关梯形的证明题、计算题，常有一定的难度，假如能巧借辅助线，则能有效地化难为易。

1、 移腰 ○1、移动一腰 例1：梯形两底长分别为14cm 和24cm ，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。

DBCA解析：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=14cm ，BC=24cm ，∠B=60°，∠C=30°。

过点A 作AE//DC 交BC 于E ，得到平行四边形AECD 和△ABE ，故AE=DC ，AD=EC ，∠C=∠AEB=30°。

这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于Rt △ABE 中，于是得到较短腰。

EDBCA②、移动两腰例2：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。

求证：∠B=∠C 。

CFEADB分析：过点E 作EM//AB ，EN//DC ，分别交BC 于点M 、N 。

梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN 中，由E 、F 分别是AD 、BC 的中点轻易得到，又由EF ⊥BC ，得EM=EN ，故∠EMN=∠ENM ，所以∠B=∠C 。

MNCFEADB2、移对角线例3：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 互相垂直，梯形的两底之和为8。

求梯形的高与面积。

CADB解析：过点D 作DE//AC 交BC 的延长线于点E ，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，这样得到平行四边形ACED ，所以AC=DE ，AD=CE 。

由AC ⊥BD ，得BD ⊥DE 。

这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于△BDE 中。

轻易得到DM 为等腰直角△BDE 的BE 边上的高，所以，即梯形的高为4。

MEC ADB3、移底例4：如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 为腰AD 的中点，且AB+CD=BC 。

求证：BD ⊥CE 。

CEABD分析：延长CE 交BA 的延长线于点F ，因为点E 为AD 的中点，可得△DCE ≌△AFE ，故CE=FE ，CD=AF ，由AB+CD=BC ，得BC=BF ，故BE ⊥CE 。

FCEABD4、作高例5：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，两条对角线AC=20cm ，BD=15cm ，梯形高为12cm ，求梯形ABCD 的面积。

ABDC解析：此题有两种解法。

法一：如图6，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，得矩形DCEF ，在Rt △ACE 中，AC=20cm ，CE=12cm ，可得AE=16cm 。

同理BF=9cm ，显然BF+AE=AB+CD=25，可求梯形面积为。

如图6EFABDC法二：如图7，过点D 作DE//CA 交BA 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥BA 于点F ，在Rt △DEF 中，DE=AC=20cm ，DF=12cm ，由勾股定理可得EF=16cm 。

同理，FB=9cm ，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，进而求得梯形面积为。

如图7FE ABDC通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，从而解决问题。

梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点：1、当两腰具备非凡关系时，移腰，构造等腰三角形或直角三角形。

2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。

3、当涉及腰的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。

4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述三点，将两底移到同一直线上。

（四）涉及到圆的辅助线可以归纳如下：①遇有直径，常把圆上的一个点和直径的两个端点连接，构成直角三角形；②有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接；③两圆相切或相交，则可以按以下规律进行：“相切做条公垂线，相交做条共弦；相切相交连心线，必定过切点，垂直公共弦”。

例1、AB ，CD 是圆O 中的两弦，相交于M ，且AB ⊥CD ，求证：AM 2+BM 2+CM 2+DM 2等于定值。

DCMOAB例2：已知直角ΔABC 中，∠C=900，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 长为半径画圆交斜边AB 于D ，求AD 的长。

解：过C 作CE ⊥AD 于E 依垂径定理有AE=DE 由勾股定理得AB=（AC2-BC2）1/2=10cm由ΔACE∽ΔABC得AE/AC=AC/ABAE=AC2/AB=3.6cm∴AD=2AE=7.2cm答：AD长为7.2cm例3：已知在ΔABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于E,求证：DE是⊙O的切线证明：连结AD、OD。

∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90。

，∴AD⊥BC∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠CAD即∠CDE=∠BAD∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∴∠CDE=∠ODA∵∠CDE+∠ADE=90。

∴∠ODA+∠ADE=90。

∴OD⊥DE ∵D在⊙O上∴DE是⊙O上∴DE是⊙O的切线。

例4：已知PA和⊙O相切于A，PO交⊙O于B、C，AD⊥PO，D为垂足。

求证：OB×CP=CD×OP分析：要证OB×CP=CD×OP，只要证CD/OB=CP/OP，即要证CD-OB/DB=CP-OP/OP由于OC=OB，问题转化为证：OB2=OD×OP。

在这里就想要到连OA，由OA=OB，只需要OA2=OD×OP。

而PA是切线，即OA⊥AP，又AD⊥AP，有OA2=OD×OP成立.例5：如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，在⊙O1上取一点P，连结PA，PB，交⊙O2于C、D两点，求证CD与过P点的切线PE平行。

证明：连接AB ∵ACBD在⊙O2上∴∠CAB=∠CDB，又∠CAB=∠BPE∴∠CDB=∠BPE所以PE∥CD例6、如图，已知⊙M和⊙N相切于C,过C作大圆的弦CB\CE,分别交小圆于A，D，连BE∥AD证明：过切点C作外公切线CP∵CP为⊙N的切线∴∠PCD=∠CAD同理∴∠CAD=∠CBE∴∠CAD=∠CBE∴BE∥AD为了便于记忆，把上述六例编一个顺口溜：与圆有关辅助线，加添规律人可循。

遇弦就添弦心距，遇有直径找直角。

切线切点连圆心， 两圆连心关系好。

相切两圆公切线， 相切两圆公弦妙。

解题方法有多样， 并非一定限此道。

（五）和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线例如：如图四边形ABCD 是圆的外切四边形，其周长是S ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：4EF ≤SFCEDAB证实方法：连接AC ，N 是AC 和EF 的交点1）若N 是AC 的中点，则EF ∥DC ∥AB ，四边形ABCD 是梯形，那么EF 是梯形ABCD 的中位线，则有4EF=2（DA +BC ）=AB+BC+CD+DA=S2）若N 不是AC 中点则可以做出AC 的中点M ，连接EM ，FM ，则有2EM=DC ，2FM=AB ，从而可以得出4=2=S ，而在三角形EMF 中EF ﹤EM+MF ，可得4EF ＜S 。