求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：

v D v P

v
0E
1 (1
r
v P

0
v
)D
v D
r

v P Pz
Dz Dz
4

v D

r r 1
v P

4 3
v P

…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。

P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。

CE dl 0
微分方程：

D
E 0


本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度


(

0
)
s0
sp


(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.

sp
和
s
恒
0
异
号。
2.
sp s0 ,
即交界面上极化电荷面密度在数 值上一定小于自由电荷面密度.
3. 交界面上总的电荷面密度为
s s0 sp

s0
1
(
0)
D
q0
4r 2
er

因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为

E
D


q0
4r 2
er

q0
40 rr 2
er

E0
r
E
E0
r
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍. 同时可求出电极化强度为


P 0(r 1)E
度
P
arr m (，m 试 0求) 此介质球内束缚电荷密度和球表
面束缚面电荷密度。
解：在球坐标系中，由于极化强度只与r有关，具 有球对称性，所以
当r R时
p

P


1 r2
r
(r 2arm )
a(m 2)r m1
当r R时
ps

P
n

ar
真空中的高斯定律：
E dS
q
S
0

S 0E dS q
在介电常数为 的介质中，类似地，有：

S 0E dS q

SD
dS

q
介质中的高斯定律
D
在介质中，静电场仍然为保守场
Ev＝0
E dl 0
C
介质中的环路定律
v 1) D 的边界条件

在分界面上取一个扁盒，将 D dS q S
应用于此盒，并考虑h0，得

D
S
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
3º解题一般步骤：

由q自 DdS q自
D
E

D
E
E
P eoE
P


P

n

例题1 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀 “无限大”电介质（介电常数为ε），求球外任一点P的
场强及极化电荷分布。

q束)
等价!
3º以上讨论对任何形状的电介质都成立。
2．环路定理
束缚电荷q束产生的电场与 自由电荷q０产生的电场相同
保守力场

E dl 0
电位移线与电场线 性质不同。
电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上 通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值．

解:
DdS
S
DnS1 q0
S内
01S1
01
D
02
电介质
D 01en
E D 01en

en
介质左右的极化电荷面密度为:
S2

' 1

' 2
P en P en

0E en


0

01

0
01
s0 r
即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的 1 r
这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
例题2 平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满
介电常数为ε的电介质,电容器两板极上自由电荷面密度
为σ01 和σ02 (σ02= -σ01 )。求（1）电介质中的电场，交界面的
σ’（2）电容器的电容.
真空中 r 1， D 0 E
一般
0, r 1
有介质的问题总体上说，比较复杂
但就各向同性线性介质来说，比较简单。
说明：

D dS q0
1ºD


E ,
D与E处处对应，且方向一致。
2º

D dS q0 与

EdS
1 o
(q自
ez er cos
O


P0 cos
例
半径为a的球形电介质体，其相对介电常数r 4 ,
若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。
解：由高斯定律，可以求得
D dS Q
S
在媒质内：
v E

Qevr
4 r2
vv v
P D 0E

D
Qer
q'
S内
1
0
S内 q0
S
P d S
S
EdS
S
P
0
dS
1
0
q0
S内
S面内包 围的自 由电荷
D 0 E P
(0 E P) d S q0
S
S内
电位移矢量
电位移矢量 通量
D d S q0
S
S内
二、介质的电位方程
在均匀、各向同性、线性媒质中（



为常数）

D (E) E
v
E (E )

2
介质中的泊松方程
三、静电场的边界条件
在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边 值关系或边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式
D 0E P
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
D d S q0
S
S内
有电介质时 的高斯定理
如果把真空看作电介质的特例
P0
D 0E

E d S q0 0
S
D d S q0
S
S内


S D dS V DdV
1）体极化电荷
介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设 分 子 的 电 偶 极 矩 p=ql 。 取 如 图 所 示 体 积
元，其高度 l 等于分子极矩长度。
则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS
在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为
dQLeabharlann nql dS
psp
S spdS
P dS
S
sp

P
n
式中：Pv为媒质极化强度 n) 为媒质表面外法向单位矢量
n
讨论：若分界面两边均为媒质，则
介质1
sp

n
(P1
P2 )
SP P1n P2n 介质2
真空、金属 P 0
（1）介质2是电介质而介质1是真空:
说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
v
v
P e0E
e : 媒质极化系数
二、极化电荷（束缚电荷）
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会
出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。
由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自
由运动，故也称束缚电荷。
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表 面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道P，仍然无法求出E
需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述
介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性
介质,有
介
P e0 E
电
D 0 E P 0 (1 e )E 0r E
常 数
1 e r 相对介电常数（与真空相对）


' 1



0

01