一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1． 切线的性质:定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2． 切线的判定:定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ３． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.①切线的判定定理设ＯA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥O Ａ，则Ｏ到l 的距离d ＝r ,∴l 与⊙O 相切.因此,我们得到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注：定理的题设①“经过半径外端”,②“垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”．举例说明:只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线._ l _A_ A_l _l1）连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂线，证垂足在圆上 ②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．三、三角形内切圆１． 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.3.直角三角形的内切圆半径与三边关系(1) (2）图(1)中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =,其中()12p a b c =++； 图(2)中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-四、典例分析:切线的性质及判定【例1】 如图,AB 是O 的直径,点D 在AB 的延长线上,过点D 作O 的切线，切点为C ,若25A =︒∠,则D =∠_＿____．_ O_F _E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_ b _a_c_ b_aA例1 例2 巩固 【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为（ )A.B.4 ﻩC. ﻩD.2【巩固】如图,AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm .【例3】 如图,若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒,切线CD 与AB 的延长线交于点D ,且O 的半径为２,则CD 的长为（ ) Ａ.ﻩＢ.C ．2ﻩD ．4例 2 巩固【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径,点A在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC AD ⊥于点C ,2AB =,半圆O 的半径为2，则BC 的长为__＿__＿＿_____＿_＿．【例4】 如图,已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切,切点分别是D C E ，，.求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．例4 巩固【巩固】如图,已知以直角梯形ABCD 中,以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB 相切._A_ O_ C _B_M OA DCB【例5】 已知:如图,在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ． 求证：(1）ABC ∆是等边三角形;（2）13AE CE =.【巩固】如图,MP 切O ⊙于点M ,直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证:MO BC ∥.【例6】 如图,ABC ∆中,AB AC =，O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是O 的切线。

【例7】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为B ,OC 平行于弦AD ，OA r =。

(1)求证:CD 是O 的切线；（2)求AD OC ⋅的值；（3)若92AD OC r +=,求CD 的长。

【巩固】 如图,已知AB 是O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线AD OC ∥,若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。

【巩固】 如图,ＡB 是半圆(圆心为Ｏ）的直径,O Ｄ是半径,ＢM 切半圆于B ,OC 与弦A Ｄ平行且交BM 于C 。

CB AODCBACB（1)求证：ＣＤ是半圆的切线；（2)若AB 长为4,点D 在半圆上运动,设AD 长为x ,点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

【例8】 如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于E 点，过E 点作O 的切线，交BC 于D 点，DE DC =,作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是O 的切线；（2)EM FM =。

【例9】 如图，割线ABC 与O 相交于B 、C 两点，D 为O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ,DE交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。

（１）求证:AD 是O 的切线;(2)如果242AB AD EG ===，，，求O 的半径。

【例10】 如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上,以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ，且AD 平分BAC ∠．求证:AC BC ⊥.【巩固】AB 是圆的直径,BC 是它的弦，过C 作圆的切线CD ，过B 作BE⊥ABC EBC ∠=∠.【例11】 如图，已知Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,以AB 为直径作O ⊙交AC 于D ，过D 作O ⊙的切线DE 交BC 于E ．求证:BE CE =.D CBAE_ A_ O_ B_ C _ D _E【巩固】如图，已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上,且EA EC =,延长EC 到点P ,连结PB ,若PB PE =,试判断PB 与O ⊙的位置关系,并说明理由.【例12】 如图,点P 在O 的直径BA 的延长线上,2AB PA =,PC 切O 于点C ，连结BC ．(1)求P ∠的正弦值;（2)若O 的半径2cm r =，求BC 的长度.【巩固】在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，D 是AB 边上一点,以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长,与BC 的延长线交于点F . （1）求证:BD BF =；(2)若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．【例13】 如图所示,A Ｂ是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ,若AEC ODB ∠=∠．（１）判断直线BD 和O ⊙的位置关系,并给出证明; （２）当108AB BC ==，时,求BD 的长．【巩固】已知:如图,⊙O 的直径AB =8ｃm ，P 是AB 延长线上的一点,过点P 作⊙O 的切线,切点为C ，连接AC ．（1）若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；（２)若点P 在AB 的延长线上运动,CPA ∠的平分线交AC 于点4tan 60PC =⋅︒=，∠_PB83OPCS S Sπ∆=-=阴影扇形BOC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠12的度数.【例14】在平行四边形ABCD中,1060AB AD m D==∠=︒，，，以AB为直径作O⊙，（１)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；(2)当m取何值时，CD与O⊙相切.【例15】已知：如图，O⊙的直径AB与弦CD相交于E，BC BD=，O⊙的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.(1）求证：CD BF∥.(2)连结BC，若O⊙的半径为4,3cos4BCD∠=，求线段AD CD、的长．【巩固】如图，在ABC∆中，90C∠=︒,34AC BC==，.O为BC边上一点,以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D E，,连结DE．（1）当3BD=时，求线段DE的长；（2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F典例分析:切线长定理及切线性质的应用【例16】在Rt ABC∆中，90A∠=︒，点O在BC上,以O为圆心的O分别与AB、AC_CCAB a =， AC b =,则O 的半径为（ )AB 、a b ab + C 、ab a b + D 、2a b+ 【例17】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ,9AB =,4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。

【例18】 如图，过O 外一点P 作O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ,连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ,使AD BE =,BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=( ）A 、90P ︒∠－B 、1902P ︒-∠ Ｃ、180P ︒-∠ Ｄ、1452P ︒∠-【例19】 如图,已知ABC ∆中，AC BC =， CAB α∠=（定值)，O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC 、BC相切于点P 、Q 。

(1）求POQ ∠；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M，点E 在CB 的延长线上,试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。

【例20】如图，O 为Rt ABC ∆的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =,4BD =，则ABC ∆的面积为 。

【例21】 正方形ABCD 中,AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ,则:CF FD =( )A 、1∶２ Ｂ、１∶3 C 、1∶4 Ｄ、2∶５CE BNQP ODCBAC EFBAF CBA【巩固】 如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆,圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD于F ,交BA 的延长线于G ,8GA =。

（1） 求G ∠的余弦值;(２)求AE 的长。

【例22】 如图，AB 是半O 的直径,点M 是半径OA 的中点,点P 在线段AM 上运动(不与点M 重合),点Q在半O 上运动,且总保持PQ PO =,过点Q 作O 的切线交BA 的延长线于点C 。

（1)当60QPA ∠=︒时，请你对QCP ∆的形状做出猜想,并给予证明; (2）当QP AB ⊥时，QCP ∆的形状是 三角形；(3）则(1）（2）得出的结论，请进一步猜想,当点P 在线段AM 上运动到任何位置时,QCP ∆ 一定是 三角形。