∵
1−
v2 ∆t 4 = = 2 ∆t ′ 5 c
解出
v = c 1− (
∆t 2 4 3 ) = c 1 − ( )2 = c ∆t ′ 5 5
= 1.8 × 10 8 m ⋅ s −1
(2) ∴
∆x ′ = γ (∆x − v∆t ), γ =
∆t ′ 5 = , ∆x = 0 ∆t 4
5 3 ∆x ′ = −γv∆t = − × c × 4 = −3c = −9 × 10 8 m 4 5
v∆t1 c
∴
∆t = ∆t1 +
v∆t1 v = γ∆t ′ + γ∆t ′ c c v = γ∆t ′(1 + ) c γ =
1 1 = 0.8c 2 0.6 1− ( ) c ∆t + 0.5 0.8c (1 + )γ c
则
τ 0 = ∆t ′ =
v λ (1 + ) c
=
=
0.5 (1 + 0.8) 1 0.6
∆t = γ∆t ′ ≥ ∆t ′ ，仅当 v = 0 时，等式成立，∴ ∆t ′ 最短．
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(2)若在 S ′ 系中同时发生，即 ∆t ′ = 0 ，则在 S 系中， ∆x = γ∆x ′ ≥ ∆x ′ ，仅当 v = 0 时等式 成立，∴ S ′ 系中 ∆x ′ 最短． 3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观 察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s， 且这颗星正沿观察方向以速 度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为 S ′ 系， ∆x ′ = 0 ，固有周期 ∆t ′ = τ 0 .地球为 S 系，则有运动时 ∆t1 = γ∆t ′ ， 这里 ∆t1 不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考 虑因飞行远离信号的传递时间，
′ ′ ′ L′ x = L0 cosθ = 0.866 m ， L y = L0 sin θ = 0.5 m
米尺相对 S 沿 x 方向运动，设速度为 v ，对 S 系中的观察者测得米尺在 x 方向收缩，而 y 方 向的长度不变，即
′ 1− L x = Lx
故
v2 , L y = L′ y c2
=
tan θ =
3-5 一门宽为 a ，今有一固有长度 l 0 ( l 0 ＞ a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动． 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门， 则该杆相对于门的 运动速率 u 至少为多少? 解: 门外观测者测得杆长为运动长度， l = l 0 1 − ( ) 2 ，当 1 ≤ a 时，可认为能被拉进门，
′ 负号表示 x ′ 2 − x1 < 0 ．
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年， 则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解:
3 l ′ = 3 = l0 1 − β 2 = 5 1 − β 2 , 则 = 1 − β 2 5
∴
v = 1−
9 4 c= c 25 5
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(1)
′ = γ (t1 − t1
v x1 ) c2 v t′ 2 = γ (t 2 − 2 x2 ) c
′ − t1 ′=0 t2
由题意 则
t 2 − t1 = v = c2
v ( x 2 − x1 ) c2
故
t 2 − t1 c = − = −1.5 × 10 8 m ⋅ s −1 x 2 − x1 2
u c
则
u a ≤ l0 1 − ( ) 2 c a 2 ) l0
解得杆的运动速率至少为： u = c 1 − (
题 3-6 图 3-6两个惯性系中的观察者 O 和 O ′ 以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果 O 测得两者的初始距离是20m，则 O ′ 测得两者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为 ∆t
0.8L0 0.8 × 20 = = 8.89 × 10 −8 s 8 0.6c 0.6 × 3 × 10
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 S 和 S ′ 中，甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S ′ 相对于 S 的运动速度． (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
v2 = 379 m c2
vx =
v′ 0.8c + 0.8c x +u = = 0.98 c uv ′ 0.8c × 0.8c x 1+ 1+ 2 c2 c
3-14 飞船 A 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 B 以0.6c的速度相对地球向正西方向 飞行．当两飞船即将相遇时 A 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在 B 飞船的观 测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解: 取 B 为 S 系， 地球为 S ′ 系， 自西向东为 x ( x ′ )轴正向， 则 A 对 S ′ 系的速度 v ′ x = 0.8 c ，
(2)由洛仑兹变换 代入数值，
′ = γ ( x1 − vt1 ), x ′ x1 2 = γ ( x 2 − vt 2 )
4 ′ x′ 2 − x1 = 5.2 × 10 m
3-4 长度 l 0 =1 m 的米尺静止于S′系中，与 x ′轴的夹角 θ ' =
30°，S′系相对S系沿 x 轴
运动，在S系中观测者测得米尺与 x 轴夹角为 θ = 45 ° ． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对 S ′ 静止，它在 x ′, y ′ 轴上的投影分别为：
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′ 解: 甲测得 ∆t = 4 s, ∆x = 0 ,乙测得 ∆t = 5 s ，坐标差为 ∆x ′ = x ′ 2 − x1 ′
(1)∴
∆t ′ = γ (∆t +
v ∆x) = λ∆t c2
1
v 1 − ( )2 c
∆t
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他 惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在 S 系 A、B 事件在 a, b 处同时发生， 则 ∆x = xb − x a , ∆t = t A − t B ，在 S ′ 系中测得
′ ∆t ′ = t ′ B − t A = γ ( ∆t −
l c
u l u γl u x ′ ) = γ ( + 2 l ) = (1 + ) 2 1 c c c c c l ′ 光信号到达后门为事件 2 ，则在车厢 ( S ′) 系坐标为 ( x′ 2 , t 2 ) = ( −l , ) ，在车站 ( S ) 系： c u γl u ′ + 2 x2 ′ ) = (1 − ) t 2 = γ (t 2 c c c γlu 于是 t 2 −t 1 = −2 2 c
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习题三
3-1 惯性系S′相对惯性系 S 以速度 u 运动．当它们的坐标原点 O 与 O ′ 重合时， t = t ′ =0， 发 出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
∆t =
∆t ′ v 1− c
2 x 2
=
2 1 − 0.946 2
= 6.17 s
3-15 (1)火箭 A 和 B 分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+ x 和- x 方向飞行．试求由火箭 (2)若火箭 A 相对地球以0.8c的速度向+ y 方向运动， 火箭 B 的速度不变， B 测得 A 的速度．
Ly Lx
=
L′ y Lx
L′ y v2 L′ x 1− 2 c
′ 把 θ = 45ο 及 L ′ x , L y 代入
则得 故
1−
v2 0.5 = 2 0.866 c
v = 0.816 c Ly
sin 45° = 0.707 m
(2)在 S 系中测得米尺长度为 L =
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近的距离为 d ′ = v∆t 0 = 599 m
d 0 = 6000 m 经洛仑兹收缩后的值为：
′ = d0 1 − d0 ′ ，故 π 介子能到达地球． d ′ > d0
3-13 设物体相对S′系沿 x ′ 轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是 0.8c，问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理， u = 0.8 c , v ′ x = 0.8 c ∴
x 2 + y 2 + z 2 = (ct ) 2 x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = (ct ′) 2
题 3-1 图 3-2 设图3-4中车厢上观到达前、后门的时间差．
′ , t1 ′ ) = (l , ) ，在车站 (S ) 系： 解: 设光讯号到达前门为事件 1 ，在车厢 ( S ′) 系时空坐标为 ( x1
∵
v ∆x ) c2
∆t = 0, ∆x ≠ 0 ，
∴ ∆t ′ ≠ 0 即不同时发生． 3-10 试证明： (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时 间间隔，只有在此惯性系中最短． (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间 间隔，只有在此惯性系中最短． 解 : (1) 如 果 在 S ′ 系 中 ， 两 事 件 A、B 在 同 一 地 点 发 生 ， 则 ∆x ′ = 0 ， 在 S 系 中 ，