第18章 函数及其图象
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究 这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来 刻画各种运动变化.
先看什么叫变量?
(1) 你坐过摩
天轮吗？你 坐在摩天轮 上时,随着时 间t的变化,你 离开地面的 高度h是如何 变化的？
h（米）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
以上各个问题中都出现了可以取不同数值的量.
像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量, 叫做变量.
什么叫函数呢?
问题1
这张图 告诉我们 温度 哪些信息? 8 T(C)
6 4 2 0 2
下图是某地一天的气温变化图,看图回答： ①这天的2时30分、9时和14时的气温分别为少？任 意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． ②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ ③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时 段的气温在逐渐降低？
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上 一点的高度h（米）之间的关系。
根据上 图填表
t/分 h/米
0
3
1
11
37
5
11
··· ··· ··· ···
汽车行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化
(3) 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行使的 路程S(千米)与行驶的时间t(时)之间有怎样的关系?
t（时间） 1
2 120
3 180
4 240
5
6
… …
s（路程）
60
300 360
S = 60t
刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高度h 随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值． 刻画汽车运动变化的量是路程S和时间t,路程S随 着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值．
一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如 x和y, 对于x的每一个值, y都有唯一的值与之对应,我 们就说x是自变量, y是因变量, 此时也称y是x的函数. 的函数的本质就是唯一确定的对应关系. 研究事物的运动变化,实际是从研究因变量与自 变量的对应关系入手的.
因变量与自变量的对应关系又叫函数关系.
3.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所 用时间t(时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
3.解: (1)C=2r, (2) s=90t,
2、 是常量，r和C是变量. 90是常量，t和s是变量.
相应的利率,下表是2006年8月中国工商银行 为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
存期x 利率y() 三月 1.80 六月 2.25 一年 2.52 二年 3.06 三年 3.69 五年 4.14
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率 y是如何变化的． 在以上变化过程中存在着两个变量x和y,对于x每 取一个值, y都有唯一的值与之对应. 我们就说x是自变量, y是因变量.也称y是x的函数.
练习
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
年龄组(岁) 男生平均身高 (cm) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 115.4 118.3 122.2 126.5 129.6 135.5 140.4 146.1 154.8 162.9 168.2
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是 因变量?
2.解: (1) 14岁的男学生的平均身高是146.1cm． (2)约从11岁开始身高迅速增加. (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之 间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
7.07
2
12.57
2.6
21.24
3.2
32.17
…
圆面积S(cm² 3.14 )
…
在以上变化过程中存在着两个变量r和S,对于r每取一个值, S都有唯一的值与之对应. 我们就说r是自变量, S是因变量.也称S是r的函数.
概括
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依 赖,密切相关.
这张图是怎样 来展示这天各时刻 的温度和刻画这天 的气温变化规律的?
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
时间 24 t(时)
-2
-4
在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每 取一个值,温度T都有唯一的值与之对应.
我们就说t是自变量,T是因变量.也称T是t的函数.
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了
h（米）
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(2)半径为R的球, 体积为V,则V与R的函数关系 式为 V＝ 4 R³ ,自变量是_____, ____是_____ 3 的函数,常量是______.
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的 半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系： r² S＝____________． 利用这个关系式,试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:(≈3.14)
问题4
半径l(cm)
1
1.5
(3)S=(n－2) ×180,
2和180是常量， n和S是变量.
思考:
(1)购买单价为每本10元的书籍,付款总金额 y(元),
购买本数x(本).问:
变量是______ ,常量是______,_______是自变量, ______是因变量,______是_____的函数．函数关系
式为_____________．
表示函数关系的方法通常有三种： 300000 (1) 解析法，如问题3中的f ＝ ,问题4中的
S＝πr² ,这些表达式称为函数的关系式．
(2) 列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频 率关系表．
(3) 图象法,如问题1中的气温曲线.
在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保 持不变,我们称之为常量.如问题3中的300 000,问题4中 的π等 .
收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和 千赫兹(kHz)为单位标刻的． 下面是一些对应的数：
波长(m) 频率f(kHz) 300 1000 500 600 600 500 1000 300 1500 200
细心的同学可能会发现： 与 f 的乘积是一个定值，即 f＝300 000， 或者说 f ＝ 300000 在以上变化过程中存在着两个变量和f,对于每取一个 值,f都有唯一的值与之对应. 我们就说是自变量,f是因变量. 也称f是的函数.
小结：函数的三种表示法及其优缺点
1.解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符 号的等式表示，这种表示法叫做解析法。解析法简单明了，能准确地反映整 个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复 杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用解析式表达出来。 2.列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系, 这种表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函数表等。列表法一目了然， 表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的 函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限 的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。 3.图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。图象法形象直观，通过函数的 图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些 性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值 是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究 函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。 在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地 研究函数的性质。