2021年高中数学课下能力提升二新人教A 版选修
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y ＝x 3
＋11在点(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，2的切线方程．
题组2 求切点坐标
3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1
4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 5．已知抛物线y ＝2x 2＋1，请求出分别满足下列条件的切点坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.
题组3 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )点(x 0，f (x 0))处没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
[能力提升综合练]
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
2．曲线y＝1
x－1
在点P(2，1)处的切线的倾斜角为( )
A.π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
3π
4
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
答案
题组1 求曲线的切线方程 1．
∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9. 2．
所以曲线在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝12
＝－4.
故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即4x ＋y －4＝0. 题组2 求切点坐标
3．解析：选A ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.
∴过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1. 4．解析：设P (x 0，2x 2
0＋4x 0)，
又∵f ′(x 0)＝16，
∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3，30)． 答案：(3，30)
5．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2
， ∴
Δy
Δx
＝4x 0＋2Δx ，
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝1
4
，
∴切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1，3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，
∴k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－18＝－1，即k ＝8.故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴切点坐标为(2，9)． 题组3 导数几何意义的应用
6． 解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．
7． 解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－1
2
<0.
8．解析：选D 不妨设A 固定，B 从A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧
AB 长度很小，这时给x 一个改变量Δx ，那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常
小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB 接近于圆的直径时，同样给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢． 由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D 正确．
9．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时，
f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故②符合．
答案：②
[能力提升综合练]
1．答案：B
2．解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx
1＋Δx ，
斜率为－1，倾斜角为3π
4
.
3．解析：选A 由Δy ＝(1＋Δx )3
－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3
＋3(Δx )2
＋Δx
所以在点(1，0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.
4．
由于曲线f (x )＝x 3
＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 2
0＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
5. 解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(a )>f ′(b )． 答案：>
6 解析：由题意，f ′(4)＝－2.
f (4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1. 答案：－1
7． 解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快； (2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快． 8．解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．。