南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知全集,6}{1,2,3,4,5=I ，集合{1,3,5}=A ，{2,3,6}=B ，则(∁I A )=B ▲ ．2．复数21i +1+的实部为 ▲ ．3．下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．4．某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到 样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的人数为 ▲ ．5．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线过点()2,1，则双曲线的离心率为 ▲ ．6．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位 数，则两位数为偶数的概率为 ▲ ．7．已知点P (y x ，)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，则x y z =的最大值为 ▲ ．8．设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ⋅=41，则n m +的值为 ▲ ． 9．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为1AA 中点，Q 为1CC 中点，AB = 2，则三棱锥B-PQD 的体积为 ▲ ． 10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1．不等式2(3)(2)f x f x ->的解集用区 间表示为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设直线0(0)x y m m -+=>与圆228x y +=交于不同的两点A ，B ，若圆上存在 点C ，使得△ABC 为等边三角形，则正数m 的值为 ▲ ． 12．已知P 是曲线x x y ln 21412-=上的动点，Q 是直线143-=x y 上的动点，则PQ 的最小值为 ▲ ． 13．矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足P A = 3，PC = 4．矩形对角线AC = 6，则 ⋅= ▲ ． 14．在△ABC 中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．（第4题图）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f ．（1）求()f x 的最大值，以及该函数取最大值时x 的取值集合； （2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，且,2,1==b a 2)(=A f ,求角C ．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，每条棱长均相等，D 为棱AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点． （1）求证：CD ∥平面1A BE ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BE ．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点)1,0(和)22,1(，圆O ：222b y x =+． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与圆O 相切，切点在第一象限内，且直线 l 与椭圆C 交于A 、B 两点，△OAB 的面积为46 时，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角3π、半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、, 要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、 上．（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a范围；（2）设α=∠AOT ,试用α 最短．19．（本小题满分16分）设0a >且1a ≠，函数2()ln x f x a x x a a =+--．（1）当a = e 时，求函数()f x 的单调区间；（其中e 为自然对数的底数） （2）求函数()f x 的最小值；（3）指出函数()f x 的零点个数，并说明理由．20．（本小题满分16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S 型数列” ．（1）已知数列{}n a 满足41=a ，82=a ，),2(48*1N n n n a a n n ∈≥-=+-，求证：数列{}n a 是“S 型数列”；（2）已知等比数列{}n a 的首项与公比q 均为正整数，且{}n a 为“S 型数列”，记34n n b a =，当数列{}n b 不是 “S 型数列”时，求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n }是“S 型数列”，当c 2 = 9，且对任意大于等于2的自然数n 都满足 )12)(111(11)12)(111(11--++-≤+≤++-n n n n c n n c c c n n？如果存在，给出数列{c n }的一个．．通项公式 (不必证明)；如果不存在，请说明理由．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD AB ⊥于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和 Q ，求证：OBP CQP ∠=∠.B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知∈b a ,R ，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b aA ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13，属于特征值5 的一个特征向量为α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos （θ＋π2）与直线l ：ρsin （θ＋π4）＝2，点M 为圆C 上的动点．求点M 到直线l 距离的最大值．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,x y z 均为正数．求证：111yx z ≥++++．QPDCBAO如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，121AB AA ==，，直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒， AE 垂直BD 于点E ，F 为11A B 的中点.（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值；（2）求平面BDF 与平面11AA B B 所成二面角（锐角）的余弦值.23．（本小题满分10分）设集合},,3,2,1{n S =（n ≥5，n ∈N *），集合},,{321a a a A =满足321a a a <<且223≤-a a ，S A ⊆． （1）若n = 6，求满足条件的集合A 的个数；（2）对任意的满足条件的n 及A ，求集合A 的个数．OEC 1B 1A 1DC BA 数学I 参考答案1. {2,6}；2. 2；3. 6；4. 660；5. ；6. 25； 7. 3； 8. 6； 9. 34； 10. (1,3)-； 11. 2； 12.52ln 22-； 13. 112-； 14. 52115．（本小题满分14分）解答：（1）)62sin(22cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f …………2分所以x ∈{=+,}6x x k k Z ππ∈时取得最大值2 …………6分（2）因为2)(=A f sin(2)=16A π∴+因为A 为三角形内角，613626πππ<+<A 所以262ππ=+A 6A π=…………8分又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 1sin 2b A B a ===, …………10分 因为b a >,所以4π=B 或43π=B .当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. (少一解扣2分) ………14分 16．（本小题满分14分）解：⑴设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，因为O 为1AB 的中点， D 为AB 的中点，所以1OD BB ∥，且112O D B B = 又E 是1CC 中点，则1EC BB ∥ 且112EC BB =，所以EC OD ∥且EC OD =．所以四边形ECDO 为平行四边形， 所以EO CD ∥ ． ……………………4分又CD ⊄平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ，则CD ∥平面1A BE …………………7分 ⑵因为正三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥．由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥．所以CD ⊥平面11A ABB 由⑴可知EO CD ∥，所以EO ⊥平面11A ABB 所以1EO AB ⊥． …………11分 因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以11AB A B ⊥．又1,EO A B O EO =⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ．所以1AB ⊥平面1A BE ． ……………………14分 17．（本小题满分14分）（1）⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1212111102222222b a b a b a 椭圆1222=+y x …………4分 （2） 因为切点在第一象限，可设直线l 为)0,0(><+=m k m kx y ，联立方程⎩⎨⎧+==+m kx y y x 2222，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+⇒=-+++222122122221222140224)21(k m x x k km x x m kmx x k （21,x x 分别为A 、B 横坐标） 222111k m k m d +=⇒=+=………………………………8分AB 长：2222221221221224)214(14)(1k m k km k x x x x k l AB+--+⋅+=-+⋅+= 22221122k k k ⋅++⋅= ………………………………10分 1632114621122121212222222=+⋅+⇒=⋅++⋅⋅⋅=⋅=∴）（）（k k k k k k d l S AB210)12)(32(2131162222222-=⇒=⇒=-+⇒+=⋅+∴k k k k k k k ）（）（………………12分 26=∴m ，直线l 为2622+-=x y 18．（本小题满分16分）解：（1）在AOB ∆中，,OA akm OB ==由余弦定理得：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠=22a b ab =+-所以：AB 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 则1(,0),()2A a B b ，所以直线AB (2)0a b y +-= 因为AB 即2222112a b a b ab +=+． )6,3(,∈b a ………………6分（2）因为OT 圆O 的切线，所以OT ⊥AB ．在Rt OTA ∆中，3tan AT =α；在Rt OTB ∆中，3tan()BT π=-α；所以，3tan 3tan()(0)33AB AT TB ππ=+=α+-α<α<． ………………9分所以，3(tan AB =α+＝． ………………12分设1u +α=，(1,4)u ∈则4(2)2AB u u==+-≥=当且仅当u ＝2，即6πα=时取等号．此时，OA OB ==．答：当OA OB ==时，新建公路AB 的长度最短． ………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a =e 时，2()x f x e x x e =+--，'()21x f x e x =+-． ………………2分设()21x g x e x =+-，则(0)0g =，且'()20.x g x e =+> 所以，()g x 在(,)-∞+∞上单增，且当0x >时，()(0)0g x g >=；当0x <时，()(0)0g x g <=． 即 当0x >时，'()0f x >；当0x <时，'()0f x <．综上，函数()f x 的单增区间是(0,)+∞，单减区间是(,0)-∞． ………………4分 （2）'()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x =+-=-+①当1a >，若0,x >则1x a >，ln 0a >，所以'()0f x > 若0,x <则1x a <，ln 0a >，所以'()0f x <②当01a <<，若0,x >则1x a <，ln 0a <，所以'()0f x > 若0,x <则1x a >，ln 0a <，所以'()0f x <所以()f x 在(,0)-∞上减,(0,)+∞上增. ………………6分 所以min ()(0)1f x f a ==- ………………8分 （3）由（2）得：0,1a a >≠，min ()1f x a =-．ⅰ 若10a ->即01a <<时，min ()10f x a =->，函数()f x 不存在零点．………………10分 ⅱ 若10a -<即1a >时，min ()10f x a =-<．()f x 的图象在定义域是不间断的曲线, ()f x 在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增.22()ln ln (ln 1)a f a a a a a a a a a a a a a =+-->--=--．令()ln 1(1)t a a a a =-->, 1'()10t a a=->,所以()t a 在),1(+∞递增;所以()(1)0t a t >=．所以()0f a >．故()f x 在(0,)a 有一个零点． ………………12分 又22()ln (1)0af a a a a a a a a a a --=++->-=->，故()f x 在(,0)a -有一个零点． ………………14分 所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞各有一个零点，即()f x 有2个零点．综上：①01a <<时，函数()f x 不存在零点；②1a >，函数()f x 有2个零点． …………16分20．（本小题满分16分）解（1）184n n a a n ++=+ ① 184n n a a n -+=- ② ②-①得 118n n a a +--= ………4分 所以28n a n =，2184n a n -=- 因此4n a n =从而143n n a a --=>所以，数列{}n a 是“S 型数列” …………………6分（2）由题意可知11≥a ，且31>--n n a a ，因此{}n a 单调递增且2≥q而0))(1()1()1()()(2121211>--=---=----------n n n n n n n n a a q q a q a a a a a 所以}{1--n n a a 单调递增 又34n n b a =，因此}{1--n n b b 单调递增 …………………8分 又{}n b 不是“S 型数列” 所以，存在0n ,使得3100≤--n n b b 所以311200≤-≤--n n b b b b ， 即4)1(1≤-q a 又因为312>-a a ，即3)1(1>-q a 且*,1N q a ∈ 所以4)1(1=-q a 从而2,41==q a 或3,21==q a 或5,11==q a12+=∴n n a 或132-⋅=∴n n a 或15-=∴n n a …………………12分（3）可取2)1(+=n a n 可验证符合)111)(12(11)12)(111(11+-+≤+≤++---n n c c c c n n n n n n 条件， 而且312)1(221>+=-+=--n n n a a n n …………………16分数学II （附加题）参考答案21.A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠，又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， ………5分又因为180BOP DOP ∠=-∠，180QCP ACB ∠=-∠，所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. ………10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13， 即33=-b a ； ……… 3分由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝5⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即5=+b a ， ……… 6分 解得⎩⎨⎧==32b a 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312， ……… 7分 A 的逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎣⎡-52535154………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：圆C ：ρ＝2cos （θ＋π2），即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C (0，－1)． …………………………4分直线l ：ρsin （θ＋π4）＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2. …………………………7分∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1. ……………………………10分D ．证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． ………5分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥． ………10分 22．（本小题满分10分）解：在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直QPDCBAO线为z 轴建立如图示空间直角坐标系由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F 又AD ⊥平面11AAB B ，从而BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥，1,3AE AD ==从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………2分 （I ）因为()13,,0,1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以()cos,AE BF AE BFAE BF ⋅==14-=- 易知异面直线AE BF 、所成的角为4………5分（II ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量，(BD =-由00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒= 即()1,3,1n =所以15cos ,5m n m n m n⋅==即平面BDF 与平面1AA B ………10分 23．（本小题满分10分）（1）当n = 6时，由223+≤a a ；当a 2 = 2时，有2个A 满足条件；当a 2 = 3时，有2×2=4个A 满足条件；当a 2 = 4时，有3×2=6个A 满足条件；当a 2 = 5时，有4个A 满足条件；故满足条件的集合A 共有16个 ……………………4分 （2）考虑223>-a a 即232-<a a则有2321-<<a a a ，从而221321-≤-<<≤n a a a从n 个元素中取3个元素的组合数为3n C ，则满足条件的集合A 共有323--n n C C 2323)2(6)4)(3)(2(6)2)(1(-=------=-∴-n n n n n n n C C n n ……………10分。