作业一：（1） Minf(X)=x 12+x 22+8x 12-x 2≤0 -x 1- x 22+2=0 x 1, x 2≥0解：该非线性规划转化为标准型为：Minf(X)=x 12+x 22+8 g 1(X)= x 2- x 12≥0 g 2(X)= -x 1- x 22+2≥0 g 3(X)= x 1+x 22-2≥0 g 4(X)= x 1≥0 g 5(X)= x 2≥0f(X)， g 12 0 ∣H ∣= = =4>00 2 -2 0∣g 1∣= = =0≥00 00 0 ∣g 2∣= = =0x 22x 1x 2 x 1x 2x 12 2f(X) 2f(X) 2f(X) 2f(X)x 22x 1x 2x 1x 2 x 122g 1(X) 2g 1(X)2g 1(X)2g 1(X) x 22x 1x 2 x 1x 2x 12 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X)0-2设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则C(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab (1)C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2 (2)于是C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab=(2-)(a-b)2≤0所以C(a+(1-)b)≤C(a)+(1-)C(b)故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)=x1+x22-2为凸函数。

从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。

（2）Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2x12+x22≤45 x1+ x3=10x1, x2, x3≥0解：该非线性规划转化为标准型为：Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2g1(X)=4- x12-x22≥0g2(X)= 5 x1+ x3-10=0g3(X)= x1≥0g4(X)=X2≥0g 5(X)=X 3≥0f(X)， g 1(X)，g 2(X)，g 3(X)，g 4(X)，g 5(X)的海赛矩阵的行列式分别为：从而可知f(X)为严格凸函数，g 1(X)为严格凹函数，又g 2(X)为线性函数，所以该非线性规划是凸规划。

作业二：分别用分数法和0.618法求函数 f(t)=t 2-6t+2在区间[0,10]上的极小点，要求缩小后的区间长度不大于原区间长度的3%。

解：（1）分数法∣H ∣=由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。

由1/F n≤0.03知，F n≥33.3，查表得n=8。

取a0=0，b0=10t1= b0+F7/ F8（a0- b0）=3.824，t1’= a0+F7/ F8（b0- a0）=6.176f(t1)=-6.321，f(t1’)=3.078，f(t1)< f(t1’)所以a1=a0=0，b1= t1’=6.176，t2’= t1=3.824t2= b1+ F6/ F7（a1- b1）=2.353，f(t2)=-6.581，f(t2) <f(t2’)所以a2=a1=0，b2= t2’=3.824，t3’= t2=2.353t3= b2+ F5/ F6（a2- b2）=1.471，f(t3)=-4.662，f(t3) >f(t3’)所以a3= t3=1.471，b3= b2=3.824，t4=t3’= 2.353t4’= a3+ F4/ F5（b3- a3）=2.942，f(t4’)=-6.997，f(t4) >f(t4’)所以a4= t4= 2.353，b4= b3=3.824，t5=t4’=2.942t5’= a4+ F3/ F4（b4- a4）=3.236，f(t5’)=-6.944，f(t5) <f(t5’)所以a5= a4= 2.353，b5= t5’=3.236，t6’= t5=2.942t6= b5+ F2/ F3（a5- b5）=2.647，f(t6)=-6.875，f(t6) >f(t6’)所以a6= t6=2.647，b6= b5=3.236，t7=t6’=2.942t7’= a6+ F1/ F2（b6- a6）=2.942，f(t7) =f(t7’)t7=1/2（a6+ b6）=2.942令t7’= a6+（1/2+ε）（b6- a6）=2.942+0.589ε因为ε可以是任意小数，取ε=0.001，则t7’=2.943f(t7) >f(t7’)故t7’=2.943为函数的近似极小点，近似极小值为-6.997，缩短后的区间为[2.942，3.236]，区间长度为0.294，符合要求。

（2）0.618法由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。

取a0=0，b0=10t1= a0+0.382（b0- a0）=3.82，t1’= b0-0.382（b0- a0）=6.18f(t1)=-6.328，f(t1’)=3.112，f(t1)< f(t1’)所以a1=a0=0，b1= t1’=6.18，t2’= t1=3.82t2= a1+0.382（b1- a1）=2.361，f(t2)=-6.592，f(t2)< f(t2’)所以a2=a1=0，b2= t2’=3.82，t3’= t2=2.361t3= a2+0.382（b2- a2）=1.459，f(t3)=-4.625，f(t3)>f(t3’)所以a3= t3=1.459，b3= b2=3.82，t4= t3’=2.361t4’= b3-0.382（b3- a3）=2.918，f(t4’)=-6.993，f(t4)>f(t4’)所以a4= t4=2.361，b4= b3=3.82，t5= t4’=2.918t5’= b4-0.382（b4- a4）=3.263，f(t5’)=-6.931，f(t5)< f(t5’)所以a5=a4=2.361，b5= t5’=3.263，t6’= t5=2.918t6= a5+0.382（b5- a5）=2.706，f(t6)=-6.914，f(t6)>f(t6’)所以a6= t6=2.706，b6= b5=3.263，t7= t6’=2.918t7’= b6-0.382（b6- a6）=3.050，f(t7’)=-6.998，f(t7)>f(t7’)所以a7= t7=2.918，b7= b6=3.263，t8= t7’=3.050t8’= a7+0.382（b7- a7）=3.050，f(t8)=f(t8’)令t8’= a7+（0.382+ε）（b7- a7）=3.050+0.345ε，ε为任意小数，则f(t8)< f(t8’)，取ε=0.01，t8’=3.053故该函数的近似极小点为t8= 3.050，近似极小值为-6.998，缩短后的区间为[a7，t8’]=[2.918，3.053]，区间长度为0.135，符合要求。

作业三：（一）《管理科学基础》习题3.3分别用梯度法（迭代三次即可）和共轭梯度法求解下面的无约束极值问题min解：（1）梯度法取初始点，，，，，，，，故该函数的近似极小点为，近似极小值为-1.22（2）共轭梯度法将f(X)化成标准形式为：故取初始点，，，故为该函数的极小点，极小值为-1.25（二）《运筹学》习题7.11令为一组A共轭向量（假定为列向量），A为对称正定阵，试证证明：由于与A共轭，所以它们线性独立，设Y为E n中的任一向量，则存在，使············································①①式左乘得：从而令·······································②②式右乘AY得：故BA=E(E为单位矩阵)从而证毕作业四：（一）《运筹学》习题7.15分析非线性规划在以下各点的可行下降方向（使用式（7-6）和式（7-7））：；（2）；（3）。

并绘图表示各点可行下降方向的范围。

解：该非线性规划问题化为标准型为：，，，设可行下降方向为D=(a,b)T（1）当时，为有效约束，为无效约束，由得：，于是所以可行下降方向为D=(a,b)T，其中b<0，2a+3b>0.D的范围如下图红色区域所示：（2）当时，均为有效约束，故该不等式组无解所以该非线性规划在点处无可行下降方向。

（3）当时，为无效约束，为有效约束，由得：，于是所以可行下降方向为D=(a,b)T，其中b<0，a<b.D的范围如下图红色区域所示：（二）《运筹学》习题7.18试找出非线性规划问题的极大点，然后写出其Kukn-Tucker条件，这个极大点满足Kukn-Tucker 条件吗？试加以说明。

解：由得，············○1由得，············○2○1+○2得：，于是maxx1=1，此时又，所以该非线性规划的极大点为X*=(1,2)T该非线性规划问题化为标准型为：其目标函数和约束函数的梯度为：对四个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，则该非线性规划问题的K-T条件为：将找出的极大点X*=(1,2)T代入K-T条件得：该方程组无解，故极大点X*=(1,2)T不满足K-T条件，因而不是正则点。