反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。 性质2 （比较性质） 若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒 有
证 设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,

0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
18
1
无穷小与无穷大
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
x
x)
解 lim ( x 1
x Biblioteka x ) 20无穷小与无穷大
六、小结
无穷小的概念;
无穷小与函数极限的关系;
无穷小的运算;
无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
21
无穷小与无穷大
思考题
1 1 当x 0时, 2 sin 是( D ). x x
A. 无穷小量 C. 有界量非无穷小量 B.无穷大量 D.无界但非无穷大量
0

于是
设 f ( x ) A ( x ),
| f ( x ) A || ( x ) |
, 其中A是常数 ( x)是当x x0时的无穷小 ,
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim 即 | f ( x ) A | . 所以 x x f ( x ) A.
推论4 若 lim f ( x) A 0, 且 ( x)是无穷小，
则
( x)
f ( x)
也是无穷小。
8
无穷小与无穷大
例
研究下列极限
1 （ ） sin x sin 1 lim x 0 x sin n （2） lim n n arctan x （3） lim 2 x x 1
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于 无穷小的讨论.
19
0
无穷小与无穷大
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1
9
无穷小与无穷大
三、无穷小与函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x)是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
0, 0, 当0 | x x0 | , 恒有
1 证 M 0, 要使 M, x 1
O

y
1 x 1
1
1 1 1 只要 x 1 , 取 , M M 1 1 当0 x 1 时, 有 M . lim . x 1 x 1 x 1
x
17
无穷小与无穷大
五、无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
| f ( x ) | M
则称f ( x)当x x0 (或x )时的无穷大 ,
lim 记作 x x f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
0
x
特殊情形: 正无穷大,负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
3
无穷小与无穷大
定义2 0(不论它多么小 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ), 有 恒
| f ( x ) |
则称f ( x)为当x x0 (或x ) 时的无穷小记作 ,
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
2
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
定义1. 极限为零的变量称为 无穷小量, 简称 无穷小.
; 如, 当x 0时, 函数sinx是 无穷小 sin x 当x 时,函 数 ; 是无穷小 x 当x 2时, 函 数x 2是无穷小 ;
当x 1时,
皆非无 穷小.
( 1)n 当n 时, 数 列 { }是 无 穷 小 . n 无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)的概念
无穷小的性质
无穷小与函数极限的关系 无穷大量(infinitely great) 无穷小与无穷大的关系
小结 思考题 作业
第一章 函数与极限 函数与极限
1
无穷小与无穷大
数学分析的历史表明, 很多变化状态比
较复杂的变量,都可以转化为一种简单而重 要的变量,即所谓无穷小量.常常把整个变量 的理论称为“无穷小量分析”. 牛顿 牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无 穷小的方法. 英国数学家、物理学家(1642—1727) 意大利数学家、力学家(1736—1813) 拉格朗日 拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统 地建立了动力学基础,创立了“分析力学”. 欧拉 欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以 《无穷小分析引论》. 瑞士数学家(1707 —1783)
如 y x sinx 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 x xn 2n

2
时,
当
f ( 2 n ) 2 n 2 2 而取 x xn 2n时,


f ( 2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
16
无穷小与无穷大
y
1 例 证 明 lim x 1 x 1 解出| x 1 |
| f ( x ) A | 也即 | ( x ) |
则有 lim ( x ) 0, 所以f ( x) A ( x).
x x0
10
无穷小与无穷大
lim 定理1 x x f ( x ) A f ( x ) A ( x ), 其中( x)是当x x0时的无穷小 .
22
无穷小与无穷大
作业
习题1-4 (35页) 2.(2) 3.(1)(3)(5) 4.(4) 5. 6. 7.
23
证 设函数u在U ( x0 , 1 )内有界, 则M 0, 1 0,

使得当 0 | x x0 | 1时, 恒有 | u | M .
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2 0,使得当0 | x x0 | 2时, 恒有 | | . 取 min{ 1 , 2 }, 则当 M 0 | x x0 | 时, 恒有 | u | | u | | |
M

M
,
所以 当x x0时, u 为无穷小 .
7
无穷小与无穷大
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小
的乘积是无穷小;
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小; 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 1 1 2 如,当x 0时, x si n , x arctan x x 都是无穷小.
x x , 则 x 也是无穷小。
性质3 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
5
无穷小与无穷大
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 1 但 如, n 时, 是 无 穷 小 ， n个 之 和 为1 n n
不是无穷小.
6
无穷小与无穷大
性质4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
x x0 ( x )
定义
14
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
( 2) 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
15
无穷小与无穷大