【最新】北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．已知i 为虚数单位，若iz =−1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．1BC ．2D ．4．62x ⎛- ⎝展开式中2x 项的系数为（ ） A ．160- B ．20- C ．20 D ．160 5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（ ）注：“相差”是指差的绝对值A ．立春和立冬的晷长相同B ．立夏和立秋的晷长相同C ．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D ．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长6．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3y x 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ）A ．2B ．C ．12+D 2+ 7．“sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为（ ）A ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．122⎛ ⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1(1]2， 9．若圆P 的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P 上一点作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A B ．C ．2 D ．410．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下： ①甲地5个数据的中位数为26，众数为22；②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题 11．双曲线221916y x C -=：的焦距是__________． 12．不等式20t at -≥对所有的[11]a ∈-，都成立，则t 的取值范围是__________． 13．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意,0a a a ∈*=R ；（2）对任意,a b a b b a ∈*=*R ，；（3）对任意()()()(),,,2a b c a b c c ab a c b c c ∈**=*+*+*-R ．给出下列四个结论：①()2020**=；②()()20208***=；③对任意()(),,,a b c a b c b c a ∈**=**R ；④存在()()(),,,a b c a b c a c b c ∈+*≠*+*R ．其中，所有正确结论的序号是__________．三、双空题14．已知{}n a 是等差数列，{}n n a b +是公比为c 的等比数列，113105a b a ===，，，则数列{}n a 的前10项和为__________，数列{}n b 的前10项和为__________（用c 表示）．15．已知ABC ∆为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．四、解答题16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，点E 是棱1C C 的中点，已知1111112A B BC C C B E ====，（Ⅰ）求证：1B B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角11A EB A --的余弦值．17．在△ABC 中，sin A B =，6C π=，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在，求c 的值及△ABC 的面积．条件①：c =；条件②：ac =；条件③：c sin A =3．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123p =，212p =，334p =．假定各人能否完成任务相互独立．（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，①求能完成任务的概率；②求派出人员数X 的分布列和数学期望E (X )．（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）19．已知函数()32232=-+f x x ax . （1）若0a =，求过曲线()y f x =上一点()1,0-的切线方程；（2）若0<<3a ，()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的最小值．20．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右顶点分别为,A B ，上顶点为T ，离心率为3， 8AT TB ⋅=点,M N 为椭圆C 上异于,A B 的两点，直线,AM BN 相交于点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线92x =上，求证：直线MN 过定点． 21．已知m ，n ，k 为正整数，4n ≥，3k ≥，A 是由m n ⋅个不超过k 的正整数组成的m 行n 列的数表，其第i 行第j 列为,i j x ，1i m ≤≤，1j n ≤≤，满足：①对任意1i m ≤≤，21j n ≤≤-，均有,1i j x -，,i j x ，,1i j x +互不相等；②对任意1i m ≤≤，不存在1a b c d n ≤<<<≤，使得,,i a i c x x =且,,i b i d x x =； ③当2m ≥时，对任意1i j m ≤<≤，存在1k n ≤≤，使得,,i k j k x x ≠．记,()k S m n 为所有这样的数表构成的集合．（Ⅰ）写出34(2)S ，中的一个元素； （Ⅱ）若4,()S m n ≠∅，则当n 最大时，求m 的最大值；（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．问题（一）：求集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数． 问题（二）：求集合113(1)2S ,的元素个数．参考答案1．C【分析】先化简集合A ，再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A={x|x ≥1}，B={0，1，2}，∴A ∩B={1，2}．故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．A【分析】根据复数的运算求出z 以及对应复平面内的点，即可得出答案.【详解】2211i i i z i i i-+-===+-，则复数z 在复平面内对应的点为(1,1) 即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点睛】本题主要考查了根据复数的几何意义求复数所在象限，属于基础题.3．C【分析】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式进行计算可得答案.【详解】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图，等腰直角三角形斜边上的高为1，斜边长为2，棱柱的高为2，则棱柱的体积121222V =⨯⨯⨯=, 故选：C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，考查空间想象能力，属于基础题.4．A【分析】利用二项展开式的通项求解即可.【详解】62x ⎛ ⎝的展开式通项为()()6663166212rr r r r r r r r T C x C x ----+⎛==-⋅⋅ ⎝， 当出现2x 项时，623r r --=，得3r =， 故含2x 项的系数为()333612160C ⋅-⋅=-.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，较容易，解答时要灵活运用展开项的通项公式.5．D【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.所以说法错误的是D.故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.6．B【分析】 根据抛物线的性质，PG PH +的最小值等价于PF PH +的最小值，即焦点F 到直线的距离.【详解】由题可知1x =-是抛物线的准线，交点()1,0F ， 由抛物线的性质可知PG PF ,PG PH PF PH ∴+=+，如图，当,,F P H 在一条直线上时，PF PH +取得最小值为FH ， 利用点到直线距离公式可以求出103222FH，所以PG PH +的最小值为故选：B.【点睛】 本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.7．A【分析】利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集，利用集合间的基本关系判断充分性和必要性.【详解】令()sin f x x x =+，'()1cos 0f x x ，()f x ∴在R 上单调递增，且(0)0f =，∴sin 0x x +>等价于()(0)f x f >，即0x >，令()sin g x x x =-，'()1cos 0g x x ，()g x ∴在R 上单调递增，且(0)0g =，∴sin 0x x ->等价于()(0)g x f ，即0x >，“0x >”是“0x >”的充分必要条件，∴“sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的充分必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，将条件转化为利用集合间关系判断是解决此类问题的常用方法.8．D【分析】 根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2cos 3x πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得21cos cos 3x x παα⎛⎫- ⎪⎭=⎝--，再结合三角恒等变换和三角函数的性质得211,12x x ⎛-∈⎤ ⎥⎝⎦. 【详解】 解：根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭, 由于角α的终边顺时针旋转3π得到角β，故3πβα=-, 所以2cos cos 3x πβα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以211cos cos cos sin 326x x ππααααα⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪⎭-= ⎪⎝⎝⎭因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以5,636πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即211,12x x ⎛-∈⎤⎥⎝⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题. 9．B 【分析】根据题意，分析圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心以及半径，由勾股定理分析可得||PQ =，当||PC 最小时，||PQ 最小，由点与圆的位置关系分析||PC 的最小值，计算可得答案． 【详解】由题意可知，点P 在圆221x y +=上，圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心(4,3)C ，半径2r过点P 作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则||PQ =当||PC 最小时，||PQ 最小又由点P 在圆221x y +=上，则||PC 的最小值为||114OC -==则||PQ =； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题． 10．D 【分析】①根据众数的定义至少出现2次，假设有一天低于22，再由中位数判断； ②设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，根据方差的定义得到()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=，假设有一天低于22，再由平均数判断；③设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，由平均数的定义得到124982x x x =++，假设假设有一天低于22，再由中位数判断； 【详解】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；②设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，根据方差的定义()()()()()222221234512626262626 5.25x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， 所以()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=，若有一天低于22，不妨设121x =，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26， 故没有低于22的，所以乙地进入夏季；③设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，由题意得：35126,8x x x ==+， 由平均数的定义得：()12345126.45x x x x x ++++=，即124982x x x =++， 若122x <，取121x =，则2456x x +=，不满足中位数26，故没有低于22的，所以丙地肯定进入夏季； 故选：D 【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，还考查了逻辑推理运算求解的能力，属于中档题. 11．10 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】解：根据双曲线的标准方程得229,16a b ==，所以22225c a b =+=，即5c =， 所以双曲线的焦距为10. 故答案为：10 【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题. 12．(,1]{0}[1,)-∞-+∞ 【分析】看作关于a 的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得t 的范围. 【详解】设()f a =2t at - ，[11]a ∈-，，由()0f a ≥ ∴()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即2200t t t t ⎧+≥⎨-≥⎩解得1t ≤-或0t =或1t ≥，故答案为：(,1]{0}[1,)-∞-+∞. 【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 13．②③④ 【分析】根据给定的新运算得到a b *的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号. 【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b *=**=*+*+*-⨯=++， 对于①，2222228*=⨯++=，故①错误.对于②，()()200222***=*，由①中结果可知()()20208***=，故②正确.对于③，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b c ∈**=*++=++++++Rabc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a c b c a b =++=++++*+*+*abc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a **=**，故③正确. 对于④，取1,1a b c ===， 则1212152*=⨯++=，而()()()1111211116*+*=⨯++=，故()()()1111111+*≠*+*，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到a b *的运算方法，本题属于较难题.14．100 1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时 【分析】先根据131,5a a ==求出等差数列{}n a 的通项公式，计算前10项和即可，由等差数列的通项公式及{}n n a b +是公比为c 的等比数列求出{}n b ，即可求前10项和. 【详解】因为{}n a 是等差数列，131,5a a ==， 所以3124a a d -==， 解得2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-， 所以1010910121002S ⨯=⨯+⨯= 因为{}n n a b +是公比为c 的等比数列，且111a b ，所以1n n n a b c -+=，故121n n b cn -=-+，当1c =时，10(220)10902T -⨯==-，当1c ≠时，1029101(1)(13519)1001c T c c c c-=++++-++++=-+-， 综上101090,11100,0,11c T c c c -=⎧⎪=⎨--+≠⎪-⎩当时，当时, 故答案为：100；1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分组求和，属于中档题. 15．14[]0,1 【分析】(1)由条件可知AC BC ==1AO BO CO ===,又1()2AP AC AO =+，代入AP OP ⋅中，利用向量的数量积的定义可求解答案.(2) 当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ= ,01λ≤≤,()AC CP AP OP OP ⋅=+⋅利用向量的数量积的运算性质和定义可求解. 【详解】ABC ∆为等腰直角三角形，CO 为斜边的高,则CO 为边AB的中线，所以AC BC ==1AO BO CO ===.(1) 当P 为线段OC 的中点时，在ACO △中,AP 为边CO 上的中线, 则1()2AP AC AO =+ 所以11()()22AC AO OP AC OP AO OP AP OP +⋅+⋅==⋅⋅1111||||cos 450=2224AC OP =⋅+ (2)当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ= ,01λ≤≤.()AC CP OP AP O AC OP CP O P P +⋅=⋅⋅=⋅+=(1)()OC AC OC OC λλλ⋅--⋅1cos ,(1)OC AC λλλ=⨯<>--⋅1(1)2λλλ=⨯--⋅ 22[0,1]λλλλ=-+=∈所以AP OP ⋅的取值范围为[]0,1 故答案为：(1). 14(2). []0,1 【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3. 【分析】（Ⅰ）首先证明四边形11BB C C 为矩形，可得1B B BC ，结合1B B AB ⊥，可证1B B ⊥平面ABC（Ⅱ）分别以BC ，1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）依题意，在11B C E ∆中，111111212B C B E C E C C ====，， 所以2221111B C C E B E +=，所以1190B C E ∠=．又因为三棱锥111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形， 所以四边形11BB C C 为矩形， 所以1B BBC ．因为AB ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， 所以1B B AB ⊥．又因为AB BC ⊂，平面ABC ，AB BC B ⋂=， 所以1B B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ， 所以AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B −xyz ，则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,，111)022((002)B A B A =-=,,,,,，设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =，则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即， 令1x =，则2y =，2z = ， 于是,,(1)22n =，设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =，则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =，则2y =，0z =． 于是(1,2,0)m =，所以cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角，所以其余弦值为3【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题. 17．答案见解析. 【分析】选择条件②，sin A B =由正弦定理可得a =，又6C π=，由余弦定理可得b c =，结合条件②即可求得a ，b c ，，从而得到三角形的面积. 【详解】 选择条件②，因为在△ABC 中，sin sin sin a bA B A B==，，所以a =．又因为6C π=所以由余弦定理得0,c b ===>又因为2ac ab ===1b =或−1(舍)．所以1a c ==．则△ABC 的面积为1sin 264S ab C π===【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 18．（Ⅰ）①2324；②分布列见解析，32；（Ⅱ）依次派出丙甲乙． 【分析】（1）①根据相互独立事件概率的求法求得完成任务的概率；②写出X 的可能值，求出各自的概率，列表写出分布列，根据数学期望公式求得结果； （2）根据所求概率结合X 的数学期望直接写出结论.【详解】解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A ． 因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为123213,,,324P P P === 各人能否完成任务相互独立．所以11212323()(1)(1)(1)24P A P P P P P P =+-+--= 或12323()1(1)(1)(1)24P A P P P =----=依题意，X 的所有可能取值为1，2，3．11212211(1),(2)(1),(3)(1)(1).366P X P P X P P P X P P =====-===--= 所以X 的分布列为故X 的期望2113()123.3662E X =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）依次派出丙甲乙． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率及离散型随机变量分布列，意在考查学生的数据处理的能力及数学运算的学科素养，属中档题. 19．（1）66y x =+或3322y x =+；（2）827. 【分析】（1）首先求导()26f x x '=，切点为()3,22+t t ，得到切线方程()23622=-++y tx t t ，再将()1,0-代入得到1t =-或12，即可得到切线方程. （2）首先对()f x 求导，求出函数()f x 的单调区间，再分类讨论a ，得到最大值为M ，最小值为m ，即可得到M m -的最小值. 【详解】（1）当0a =时，()322=+f x x ，所以()26f x x '=．设切点为()3,22+t t ，()26'==k f t t所以切线方程为()23622=-++y tx t t .因为切线过()1,0-时，所以()2361220--++=t t t ，所以()()()()()()()222231111211210--++-+=-++-=-+-=tt t t t t t t t t ，所以1t =-或12. 所求切线方程为66y x =+或3322y x =+. （2）因为()32232=-+f x x ax ，0<<3a ，[]0,1x ∈. 所以()()2666f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或a ．所以(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.①当13a ≤<时，()f x 在[]0,1上单调递减． 所以依题意，()02==M f ．()143==-m f a ， 所以[)21,73-=-∈M m a .②当01a <<时，()f x 在[]0,a 上单调递减，在[],1a 上单调递增. 又因为()02f =，()143=-f a ，()32==-+m f a a .当213a ≤<时，432a -≤， 所以()02==M f ，38,127⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭M m a .当023a <<时，432a -> 所以()143==-M f a ，332-=-+M m a a . 设()332g x x x =-+，()233g x x '=-，当203x <<时，()0g x '<，所以()g x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又因为()02g =，28327=⎛⎫⎪⎝⎭g ， 所以()8,227⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭M m g a 所以，当且仅当23a =时，M m -取得最小值827. 【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查利用导数研究函数的最值，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.20．（Ⅰ）22 1.9x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）先根据题意得(,0),(,0),(0,),(,),(,)A a B a T b AT a b TB a b -==-，进而得22222380c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩，求解即可得出结论； （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，先讨论直线MN 垂直于y 轴时不满足题意，再讨论MN 不垂直于y 轴时，设其方程为x ty m =+，与椭圆方程联立得2220()929t y tmy m +++-=，212122229,099tm m y y y y t t --+==≠++，再根据P 为直线,AM BN 的交点得122222222122225(3)(3)(3)33999y y y x y x x x x x y y +++====+----，化简得即可求出结论. 【详解】解：（Ⅰ）依题意，(,0),(,0),(0,),(,),(,),A a B a T b AT a b TB a b -==-2222280c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆C 的方程为22 1.9x y +=（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，则()2299,3,01,2i i i i x y x y i +=≠±≠=①当直线MN 垂直于y 轴时，由对称性，直线,AM BN 交于y 轴，不合题意，舍去． ②当直线MN 不垂直于y 轴时，设其方程为x ty m =+． 联立2299x ty m x y =+⎧⎨+=⎩得2220()929t y tmy m +++-=． 依题意，2212122229900,,0.99tm m t y y y y t t --+≠∆>+==≠++，所以3m ≠±． 因为(3,0),(3,0)A B -， 所以直线AM 方程为11(3)3y y x x =++， 直线BN 方程为22(3)3y y x x =-- 依题意，设9(,)2P P ，因为P 为直线,AM BN 的交点，所以121299(3)(3).3232y y P x x +==-+- 所以122222222122225(3)(3)(3).33999y y y x y x x x x x y y +++====+---- 所以1212124530(9)y y x x x x ++++=．所以121212()()04(539)y y ty m ty m ty m ty m ++++++++=．所以2212120(4)()(53)3()t y y t m y y m ++++++=．所以2232292(45)(3)(3)0.99m tmt t m m t t --+++++=++因为3m ≠±，所以2224532390()()()()t m t m m t +--+++=． 所以541080m -=，2m =，直线MN 方程为2x ty =+．所以直线MN 过定点()2,0. 【点睛】本题考查根据,,a b c 求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力，是中档题. 21．（Ⅰ）答案不唯一，见解析；（Ⅱ）m 的最大值为24；（Ⅲ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）由题意2,3,3m n k ===，根据题意，列出数表，写出满足要求的一个元素即可；（Ⅱ）依题意，设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯，,,,,,,，讨论当B = (a b c d b a )时和当n ≥6时，是否满足题意，即可解出n 的最大值，由③即可解出m 的最大值； （Ⅲ）若选择问题（一），则分别求解当n = 4时，n = 5时，n = 6时和n ≥7时，X 的个数，综合即可得结果；若选择问题（二），分别讨论当k =3时、当n ≥2k -1时，是否满足题意，综合分析，即可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意得：2,3,3m n k ===，则ab c a defd ⎛⎫⎪⎝⎭中(a b c )，(d e f )为(123)的不同排列即可，例如12311321⎛⎫⎪⎝⎭.（答案不唯一，满足题意即可）. （Ⅱ）依题意，设表4()B S m n ∈，，设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列，设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯，,,,,,,． 一．当B = (a b c d b a )时，4()16B S ∈,，所以n = 6符合题意； 二．当n ≥6时，由①设44(),n X ab cx x x a =⋯=或d ．1．当()n X ab ca x =⋯时，由①56,x x a ≠，故由②56x x d ==，与①矛盾． 2．当()n X ab c d x =⋯时，由①5x a =或b ． （1）当()n X a b c d a x =⋯时，由②6x a =，与①矛盾． （2）当()n X abcdb x =⋯时，由①6x b ≠，故由②6x a =．假若n ≥7，则由②7x a =，与①矛盾．综上，n 的最大值为6，且当n = 6时，X = (a b c d b a )，这样的X 共4424A =个．由③，当n 最大时，m 的最大值为24． （Ⅲ）若选择问题（一）．若表4(,)B S m n ∈，设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列， 一．当n = 4时，由（Ⅱ）X = (a b c d )或(a b c a )．这样的X 共434448A +A =个．所以m =1，2，…，48时，4()4S m ≠∅,；m >48时，44( )S m =∅，． 二．当n = 5时，由（Ⅱ）X = (a b c a d )或(a b c d a )或(a b c d b )．这样的X 共44372A ⨯=个．所以m =1，2，…，72时，4()5S m ≠∅,；m >72时，4()5S m =∅，． 三．当n = 6时，由（Ⅱ）X = (a b c d b a )，这样的X 共4424A =个．所以m =1，2，…，24时，4()6S m ≠∅，；m >24时，4()6S m =∅， ． 四．当n ≥7时，由（Ⅱ）4() S m n =∅,．综上，集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数为48+ 72+ 24+1=145． （Ⅲ）若选择问题（二）．若12()n Y y y y =⋯满足②，则将Y 删除若干项仍满足②．设12()(){}1121()2n k i Y y y y S n y k i n =⋯∈∈⋯=⋯，,，，，，，，． 一．当k = 3时，假若n ≥5，设(a b c )为(1 2 3)的某个排列，设4()n Y abcy y =⋯，则由①4y a =，由①②，5y 无解，矛盾． 所以n ≤ 4= 2k - 2．二．假设存在n ，使得n ≥2k -1，设满足此条件的最小的k 为u ．所以12)1()2(1n u Y y y y S n n u =⋯∈≥-，，． 由一，u ≥4．若1()1u Z S v -∈，，则212243()v u u n ≤--=-≤-． 不妨设)1(2i y i n =⋯，，，中，u 出现的次数m 最小． 1．当m = 0时，121()()1n u Y y y y S n -=⋯∈，，矛盾． 2．当m =1时，设t y u =，（1）当t =1或n 时，将Y 去掉t y 这一项得Z ，则1(1)1u Z S n -∈-,，矛盾． （2）当t =2时，将Y 去掉前两项得Z ，则1(1)2u Z S n -∈-,，矛盾.当1t n =-时，同理将Y 去掉后两项得1(1)2u Z S n -∈-，，矛盾. （3）当1,2,1,t n n ≠-时，记()e f u g h Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，若e g ≠且f h ≠，将Y 去掉u 这一项得Z ，则1(1)1u Z S n -∈-,，矛盾. 若e g =且f h ≠，将Y 去掉,u g 这两项得Z ，则1(1)2u Z S n -∈-,，矛盾. 若e g =且f h =，由②，矛盾.3.当2m ≥时，(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅中，1,2,,u ⋅⋅⋅均至少出现2次， 因为12(1,))(n u Y y y y S n =⋅⋅⋅∈，由①，前两个1之间必有其他数，不妨设为2. 由②，所有的2均在这两个1之间.同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋅⋅⋅ 这与(1,2,,)i y u i n ≤=⋅⋅⋅矛盾.三.从113(1)2S ,中任取一行W ，则11(21)1W S ∈,. 因为21122021⨯-=<，所以W 不存在，111(3)2S =∅,. 所以113(1)2S ,的元素个数为0. 【点睛】本题以集合作为载体，考查新概念的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属难题.。