过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.
1•已知曲线y f(x)上一点P(x o,f(x o))，求曲线在该点处的切线方程.
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型•其求法为：先求出函数f(x)的导数f (x)，再将x o代入f (x) 求出f (x o)，即得切线的斜率，后写出切线方程
y f(x o) = f (x o) (x x o)，并化简.
例1 求曲线f(x) x3 3x2 3在点P(1,1)处的切线方程.
解：由题设知点P在曲线上，
J y 3x2 6x，二曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f (1) 3，所
求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 4 •
2.已知曲线y f(x) 上一点A(X1, f(xj)，求过点A的曲线的切线方程.
这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上
可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x o, f (x o))，先求出函数f (x)的导数f (x)，再将x o代入 f (x)求出f (x o)，即得切线的斜率(用x o表示)，写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x X o)，再将点A
坐标(X1,yJ代入切线方程得
y i f (X o ) = f(X o) (X i X o)，求出X o，最后将X o代入方程
y f (X o) = f (X o) (X X o)求出切线方程.
例2 求过曲线y X3 2X上的点(1,1)的切线方程.
解：设切点为点(X o,X o32X o)，y 3X2 2，切线斜率为3x。

22 ,
切线方程为y (X o32X o) (3X o22)(X x°) •
又知切线过点(1, 1)，把它代入上述方程，得
3
1 (X o 2X o) (3X o 2)(1 X o) •
1
解得X o 1，或X o •
所求切线方程为y (1 2) (3 2)(X 1),或
13 1 、
y ( — 1) ( 2)(X-)，即X y 2 0 ,或5X 4y 1 0 •
8 4 2
上面所求出的两条直线中，直线X y 2 O是以(1, 1)为切点的切线，而切线5X 4y 1 O并不以(1, 1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(1,7)为
切点的直线，如下图所示•这说明过曲线上一点
2 8
的切线，该点未必是切点.
3.已知曲线y f(x)外一点A(X1, f(xj)，求过点A作的曲线的切线方程.
这种类型的题目的解法同上面第二种类型.
例3过原点0作曲线y x4 3x2 6的切线，求切线方程.
(2009年全国卷I文21题改编)
解：由题设知原点0不在曲线上，设切点坐标为
P(X o,x。

43x/ 6) , y 4x3 6x，切线斜率为(4x/ 6x0)，切线方程为：
4 2 3
y (x o 3x o 6) (4x o 6x o)(x X o)-
又知切线过点(o,o)，把它代入上述方程，得
4 2 3
o (X o 3x o 6) (4X o 6x o)( X o) •
整理得：(X o21)(X o22) o •
解得X o 2，或X o 2 •
所求切线方程为：y 2 2x或y 2 2x •
练习：1•求曲线f (x) x3 4x2 1在点P(1, 2)处的切线方程.
2.求过曲线y £x3 4上的点(2,4)的切线方程.
3 3
3.过点(o,2)作抛物线y X2 x 1的切线，求切线方程.
答案：1.5x y 3 o ； 2.4x y 4 o或x y 2 o ；
3.3x y 2 o 或x y 2 o •。