§2.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12
x ，y ＝x
－1
的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12
x ，y ＝x
－1
的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
归纳总结：
1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数n m
中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝n m
(m 、n ∈N *
，m 、n 互质)时，有：
n
m
y ＝n m
x 的奇偶性
定义域 奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞) 偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞) 奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y ＝n m
x 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，n m
<0时为减函数．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝2x
D ．y ＝x －
1
2．幂函数f (x )的图象过点(4，1
2
)，那么f (8)的值为( )
A.2
4
B ．64
C ．2 2 D.1
64
3．下列是y ＝23
x 的图象的是( )
4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2
四个值，则相应于曲线
C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
5．设a ＝25
35⎛⎫ ⎪⎝⎭
，b ＝3
525⎛⎫
⎪⎝⎭，c ＝25
25⎛⎫
⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a
6．函数f (x )＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．
8．函数y ＝12
x ＋x －
1的定义域是____________．
9．已知函数y ＝x －2m －
3的图象过原点，则实数m 的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1. 121、121.4、13
1.1的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y ＝x 3m －
7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21
m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，1
4
)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值
时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．
§2.3 幂函数
知识梳理
1．函数y ＝x α 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y ＝x α，依题意，1
2
＝4α，
即22α＝2－
1，∴α＝－12.
∴幂函数为y ＝12
x
-，∴f (8)＝12
8
-
＝
18＝122＝24
.] 3．B [y ＝23
x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝3(－x )2＝3
x 2
＝f (x )，即y ＝23
x 是偶函数，又∵2
3
<1，∴图象上凸．]
4．B [作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25
x 在x >0时是增函数，
所以a >c ；y ＝(2
5
)x 在x >0时是减函数，所以c >b .]
6．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x |<1. 要使f (x )＝x α>|x |，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0， 所以α＝－1,1显然是不成立的． 当α＝0时，f (x )＝1>|x |；
当α＝2时，f (x )＝x 2＝|x |2<|x |；
当α＝－2时，f (x )＝x －2＝|x |－
2>1>|x |.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．] 7．④
解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函
数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －
1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 8．(0，＋∞)
解析 y ＝12
x 的定义域是[0，＋∞)，y ＝x
－1
的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m <－3
2
解析 由幂函数的性质知－2m －3>0，
故m <－3
2
.
10．解 考查函数y ＝1.1x ，∵1.1>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵12>1
3，∴1
21.1>1
31.1.
再考查函数y ＝12x ，∵1
2
>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵1.4>1.1，∴12
1.4>12
1.1，
∴1
21.4>121.1>13
1.1.
11．解 由题意，得3m －7<0.
∴m <73
.
∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数．
∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.
故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －
4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.
(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.
13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得 2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2.
设g (x )＝x β，由题意，得1
4
＝(－2)β，
∴β＝－2，即g (x )＝x －2
.
在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：
(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )； (2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；
(3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。