第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x • 6 =6x -5的解是__________ •（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.【例2】适合2a+7|+|2a-1 =8的整数a的值的个数有（）•A• 5 B• 4 C• 3 D. 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径.注：形如ax + b=cx + d的绝对值方程可变形为ax+b=±（cx+d）且cx + d^O, 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验.【例3】解方程：x-3x 十4 ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1）x +3 - x -] =x +1 （北京市“迎春杯”竞赛题）（2）X —1 +|x — 5 = 4 •（“祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.【例5】已知关于x的方程X-2十|x-3 = a,研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.学力训练1方程3（x -1^—+1的解是____________ ；方程3x—1 =52•已知3990X 1995 =1995，那么x= ___________ .3. _____________________________________________ 已知，X =X 2，那么19x"+3x+27的值为__________________________________________________ .4. 关于x的方程ax =|a +1 — x的解是x=0 ,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是 ____________ .5•使方程3x + 2| + 2 = 0成立的未知数x的值是（）.2 十…A . —一2B . 0C .D .不存在36. 方程x-5+x-5=0的解的个数为（）.A .不确定B .无数个C . 2个D . 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）17. 已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足X —，一12 2 2A . 10 或—B . 10 或C . -10 或—D .5 5 5（山东省竞赛题）& 若2000x 2000 =20 2000 ,则x 等于（）.A . 20 或一21B . 一20 或21 C. —19 或21（重庆市竞赛题）9 .解下列方程：（1）||3x _5 +4 =8 ；（2）4x -3 _2 =3x +4 ；（3）x _2x +1| =3 ；（4）2x T + x -2 + x +1 .10 .讨论方程|x+3 — 2 = k的解的情况.11 .方程x -2 T =2的解是 _______________12•若有理数x 满足方程1 -X =1 +|X ，则化简X-1的结果是 ______________________________________________________________________ .13. __________________________________________________________________ 若a >0,b cO ，则使x —a +|x —b = a —b 成立的x 取值范围是 __________________________ •14. _____________________________________________________ 若0 vx v10，则满足条件 x_3 =a 的整数a 的值共有 _______________________________________ 个，它们的和是 ____ . 15•若m 是方程2000—x =2000+x 的解，则m —2001等于（）.A . m 一 2001B .一 m 一 2001C . m+2001D .一 m+200116 .若关于x 的方程2x —3+m=0无解，3x —4+ n=0只有一个解，4x —5=k = 0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（）. m>n>k B . n> k>m C . k>m>n D . m>k>n2x 1的解是 ________ ._；关于x 的方程ax=|a + 1—x=0，则m 的值是（）2—10或 517 .适合关系式3x-4+3x+2=6的整数x的值有（）个.A . 0B . 1C . 2 D.大于2的自然数18 .方程x + 5»7" 的解有（）.A . 1个B. 2个C . 3个D .无数个19 .设a、b为有理数，且a>0，方程||x-a -b =3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20 .当a满足什么条件时，关于x的方程x-2-x-5 = a有一解？有无数多个解？无解？21 .已知x+2+1—x=9 — y—5—1+y，求x+y的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22 . （1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；⑵是否存在有理数x，使x+1 +|x—3=x?（3）是否存在整数x,使x-4 + X—3 + x+3+|x+4 =14?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由.参考答案回鉅对值与一元一次方程【例題求解】ft I jr=^ll提示】原方程5jrH-6=-±(6jr-5)或械5斗斗点玉Q忑丁+亦弋。
村论”«1选B提示：由已卸即在救釉匕表示备的，点到一？与十1的距离和尊于瞄所我示一7到】之闻的偶数一岳3 JT■—寻或2■■寻提示；原方J-|3J +1|=44E X-|3T+]|=-+常M 门)推丽】岂*:一自耐，原方程代为上+宫+ 2—"=工十・超T*-5T当一JT-< 1时+原方趕化为工+ 3十乂一1・工+ 1昇号J= —I f当zkl时■原曲忌化肖上+2'-灯一门=扌+1,得乂申3、编上知原方程的解为-S,-!^方稈的几何克丈抱"数釉匕想示敷r的点到农示牧I从£的距海和纾于仁画岀敷轴易得膺足来杵的数为1€ J<5,此即対原方桎的廉.洌3 提示】敌釉上表示散t的点掛散铀匕茨示敌2,3的点的距高和的廉加備为1*由此可得方稈睥妁悄呪是，<1)^(*>1时"原方程解为工=耳％律》当«=)时.匣方程解为2<J<3Idi.寿a<l时"质育程无*rI学力训嫌】].士学池茨。
2. 0或一1 3. 54.一1.2鼻:。
提示1由|曲#?| = |d|+li得血只1孑0.即Ll^O5. D6. B7. A 乩D9.(1 )x"* 5或工"Y a <2Jx™9或斗s (3 >J*或直・2订4)操廣彳分JT< ~~ 1,—】.寺忑^^氛工耳？|H种Iflf配井跚玄掉绝对伺符号琳方棵.当睜痒和*时廊方稈化为阳—即1 = 1.这是十牛領尊武说唄凡是需足+或，玄2的工值那是打程的解，10.当^<0幷"原方程无熔；当Jt = Q时.原方超有两#hr=-l j=-5i.^ Q<*<2时.除方程化为山+常=2士趴此吋期方糅有* = 2时.眾方程牝肖！4■亠3丨=2±2.氏时原方程有三*¥“=上或*7 或工=_鞋当* :>总时方程有两粹山+ 3-±2代*釈一1L 土5 12. 1-J13, 握忒=利用绝对情的几网意义解，14.7.21推示时.購有！JT-31 =目一£=存罚的解蜓3^J<10fl4*W#|j-3!=才一自的解为趴】・£H.15. D 厘示tw«J lti. A 17+C 悭示i-2CXr^4 IS, B)9.提示；若i+3^-^5都是非负的.面且如靈其中一1■为寧.则谒3牛解’如果都不是辛*別得4伞解如!=電却.犍示「由地对怕几何.«^^1：^-3<((0 时，方程有一齋：目u=±$时+方国有无舟事十悄匸当成— 3时.方稈无斛.11.提示：已知等式可化拘；1『十£!十|乂一打十|$+】|十|卫一5|=叭由!ft对個的几何意玄知•当一EWrWl耳一i电时. 上式慮立，枚胃^=-2T J--1时.-r + j有用小個沖亠氛芳占R】”』= S时的垠大BI为&12.<l>|fl-A| ,(21不存在曲初丁* 士氛士沢± I』。