(Байду номын сангаас)
0
x0 x0
水倾注到大河里，可以认为起始浓 度集中于微小体积内。
狄拉克（Dirac） 函数
物理含义：
当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间
（2）边界条件：c(,t)=0, c(,t)/x=0
第五节 一维扩散方程的基本解
绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理 。 & 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排 放）。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方 程。
第三节 费克定律
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出 静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面 积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。
对一维扩散，费克定律可表示为：
Q c x
用等号 Q D c x
x
一维费克扩散示意图
式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量； C是扩散物质的浓度。 c x :x方向的浓度梯度。
c t
D(x2c2 y2c2
z2c2)
在扩散特性各向异性的液体中
ct Dx x2c2Dy y2c2Dz z2c2
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。 & 解的形式：解析解、数值解。 & 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温 度和压力有关。
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2·s-1，水温为20℃）
D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。
第四节 分子扩散方程
第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）
一维为例
设c(x,t)是时刻t位于x处上扩
散质（溶质）的浓度。在该控
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物 理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数
假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0
方程线性
Q (x ,t) [Q (x ,t) Q (x ,t) x ] c (x ,t) x
x
t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c t
D
2c x2
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而
不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的
规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
x
• 4、染料只沿长度方向扩散
令染液投入点为坐标原点
1.定解条件
第五节 一维扩散方程的基本解
一维分子扩散方程：
c
2c
D
t
x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的
解析解。定解条件在数学上表达为：
（1）初始条件： c(x,0)=M(x)
M(x)表示质量M集中于微小容积 内。相对概念。例如把一小桶颜色
一维 扩散中，浓度的量纲 [ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成 正比。 D t 是一个合适的特征长度
制体积内扩散质对时间的
t
变化率为：c ( x , t ) x t
变化量： c(x,t) xt
t
一维输移的控制体：两个具有单位面 积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t)
从(x+△x)面出去的通量为: Q(x,t)Q(x,t)x x
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的 污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
第二章 分子扩散
第一节 费克定律
第三节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的 著名实验证实。分子运动称为布朗运动
费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散
除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2·s-1 。
公式中的负号
费克定律第一定律
费克定律第二定律
ur
三维的费克定律: QDc
哈密顿算子
r i
vj
r k
x y z
Q D c x
第三节 费克定律
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
件下的解。
-x
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 瞬时单位平面源的扩散
• 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质 。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位
• 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面-x
0
分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
推广到三维： 故有
第四节 分子扩散方程
c
ur • Q
t
ur
QDc
Fick定律：
c D2c t
用直角坐标表示
c t
D(x2c2
y2c2
z2c2)
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M
的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布， 这是扩散方程的最基本的解。
• 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重
合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线
性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条