二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州22中学 高洪武 325000二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r rx C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ； 解：36323)1(])1([)21(xx x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项33336)1(x x C -，即20-本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。

2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101r rrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。

当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n nbaC和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222n n nnb a C。

3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r rrrrrr xxr T C C--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。

故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：rr rr x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。

（3） 系数绝对值最大的项例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“nb a )(-”型转化为")("nb a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。

题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ； 解： 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。

例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。

解：r rrr x T C )1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。

解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=- 小结：由nnn n n nx x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n-++≈+。

利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。

所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。

题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。

证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49P+1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=-=（7+1）171- =17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C=7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除。

在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。

二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。