p xy p yz p zx
(7.33)
由式(7.33)(7.22) 由式
1 1 1 ε = εx ε = ( )[σx (σ y +σz )] 3G′ 3G 2 G [ 1] 1 1 G′ = [σx (σ y +σz )] = [σx (σ y +σz )] 3G 2 3G 2
p x
G = 1 G′
7.2 塑性全量理论
σx σ = 2G′(εx ε ), σ y σ = 2G′(ε y ε ),
σz σ = 2G′(εz ε ),
′ sij = 2Geij ′ ′ sx = 2Gex , sy = 2Gey , ′ sz = 2Gez
(7.31)
τ xy = 2G′ τ xy = 2G′
τ xy = 2G′
7.2 塑性全量理论
=
G 1 ′ G
1 p [σx (σ y +σz )], γ xy = τ xy 3G 2 G 1 p p ε y = [σ y (σx +σz )], γ yz = τ yz 3G 2 G 1 p εzp = [σz (σx +σ y )], γ zx = τ zx 3G 2 G
σ1 σ2 = 2G(ε1 ε2 ) σ2 σ3 = 2G(ε2 ε3 ) σ3 σ1 = 2G(ε3 ε1)
应力Mohr圆和应变 应力Mohr圆和应变 Mohr Mohr圆相似 圆相似, Mohr圆相似,应力 和应变主轴重合. 和应变主轴重合.
(7.7)
7.1 弹性本构关系
用应力应变偏量表示: 用应力应变偏量表示:
1 eij = sij 2G
应力偏量分量和应 变偏量分量成正比. 变偏量分量成正比.
(7.8)
等效剪应力
形状改变只是由应 力偏量引起的. 力偏量引起的.
T=
1 (σ1 σ2 )2 + (σ2 σ3 )2 + (σ3 σ1)2 6
(7.7)代入 (7.7)代入
Γ=
2 (ε1 ε2 )2 + (ε2 ε3 )2 + (ε3 ε1 )2 3
(7.2)
7.1 弹性本构关系
----广义虎克定律 ----广义虎克定律
τ yz σx 3 1 ν εx = [(1+ν )σx ν (σx +σ y +σz )] = σ, γ yz = E 2G E G σy 3 τ 1 ν ε y = [(1+ν )σ y ν (σx +σ y +σz )] = σ, γ zx = zx E 2G E G τ xy 1 σz 3 ν σ , γ xy = εz = [(1+ν )σz ν (σx +σ y +σz )] = E 2G E G
σ = E' ε
(7.14)
和塑性变形程度有关
7.2 塑性全量理论
应力偏量分量和应变偏量分量成正比
sij eij
= 2G′
(7.15)
G'与材料性质和塑性变形程度有关 与材料性质和塑性变形程度有关
σx σ σ y σ σz σ 2τ xy 2τ yz 2τ zx = = = = = = 2G′ εx ε ε y ε εz ε γ xy γ yz γ zx
两类塑性本构关系: 两类塑性本构关系:
全量理论/形变理论 全量理论 形变理论
建立在弹塑性小变形理论上,它建立了应力与应变全量间的关系. 建立在弹塑性小变形理论上,它建立了应力与应变全量间的关系.
增量理论/流动理论 增量理论 流动理论
均与Drucker公 均与Drucker公 Drucker 设有密切关系
----广义虎克定律 ----广义虎克定律
σx σ y = 2G(εx ε y ) σ y σz = 2G(ε y εz ) σz σx = 2G(εz εx )
(7.5)
σx σ y σ y σz σz σx = = = 2G εx ε y ε y εz εz εx
(7.6)
以主应力形式表示: 以主应力形式表示:
体积变形比能
(7.12)
形状改变弹性比能
e ω = sij eij / 2
ων = 3σε / 2 = σθ / 2
e
2 2 1 1 ' G 2 1 1 ω = TΓ = J2 = Γ = σε = σ = (1+ν )Gε 2 2G 2 2 4(1+ν )G e
成正比
Mises屈服条件也可称为 屈服条件也可称为 屈服条件
(7.21)
7.2 塑性全量理论
由式(7.17), (7.20)得: , 由式 得
1 1 εx = [σx (σ y +σz )], E′ 2
1 γ yz = τ yz G′
εy =
εz =
1 1 [σ y (σz +σx )], E′ 2
1 1 [σz (σx +σ y )], E′ 2
γ zx =
εxp =
(7.34)
3ε 1 3ε 1 p ε = ( )sx , γ xy = ( )τ xy 2σ 2G σ G
p x
3ε 1 3ε 1 p ε = ( )sy , γ yz = ( )τ yz 2σ 2G σ G 3ε 1 3ε 1 p p εz = ( )sz , γ zx = ( )τ zx 2σ 2G σ G
γ xy γ yz
γ zx
2
2 2
(7.17)
1 1 1 τ xy = 2G′ γ xy , τ yz = 2G′ γ yz , τ zx = 2G′ γ zx 2 2 2
G′ =
σ 3ε
2σ eij 3ε 2σ 2σ 2σ sx = 2 ex , sy = 2 ey , sz = 2 ez 3ε 3ε 3ε 2σ 1 2σ 1 2σ 1 τ xy = γ xy , τ yz = γ yz , τ zx = γ zx 3ε 2 3ε 2 3ε 2 sij =
(a) 理想弹塑性材料
σ ,ε 不存在一一对应关系
图 7.2
理想塑性模型
7.2 塑性全量理论
最大弹性形变能条件
7.2 塑性全量理论
全量理论的假定: 全量理论的假定:
应力主方向与应变主方向重合,在整个加载过程中主方向保持不变. 应力主方向与应变主方向重合,在整个加载过程中主方向保持不变.
应力Mohr圆与应变Mohr圆相似,应力Lode参数和应变Lode参数相等.
平均应力与平均应变成比例. 平均应力与平均应变成比例. 应力偏量分量与应变偏量分量成比例. 应力偏量分量与应变偏量分量成比例. 等效正应力是等效正应变的函数, 每个具体材料都应通过实验来确定. 等效正应力是等效正应变的函数,对每个具体材料都应通过实验来确定. 函数 来确定
(7.25)
σ
a
σ = E′ε
c
σ = Eε
σ α β
σ = Eε
在单向拉伸状态下: 单向拉伸状态下: 状态下
(7.26)
O
ε 图7.1
b 单向拉伸曲线
ε
σ = 3Gε
根据单一曲线假定: 根据单一曲线假定:
(7.9)
形式上非 常相似
σ = E′ε
(7.27)
(ε ) (ε ) E′ = = ε ε
(7.28)
(7.2)
用张量表示: εij = 用张量表示:
3 ν σδij 2G E
σij
(7.3)
3个正应变相加: 个正应变相加:
1 2 ν εii = σii E
对于不可压缩 固体, 固体,ν=1/2
(7.4)
或
σ = 3Kε ,
K = E /[3(1 2 )] ν
7.1 弹性本构关系
(7.2)方程互减: 方程互减:
(7.32)
7.2 塑性全量理论
总应变=弹性应变 塑性应变 总应变 弹性应变+塑性应变 弹性应变
εx = ε + ε , ε y = ε +ε , εz = ε + ε ,
e x e y e z p x p y p z
e x
γ xy = γ +γ γ yz = γ +γ γ zx = γ +γ
e xy e yz e zx
σx σ = 2G′(εx ε ), σ y σ = 2G′(ε y ε ), σz σ = 2G′(εz ε ), τ xy = 2G′ τ xy = 2G′ τ xy = 2G′ γ xy γ yz γ zx
2 2 2
(7.17)
(7.16)
7.2 塑性全量理论
由式(7.17)得: 得 由式
σx σ y σ y σz σz σx τ xy τ yz τ zx = = = = = = 2G′ εx ε y ε y εz εz εx γ xy / 2 γ yz / 2 γ zx / 2
dσ = 3Kdε
(7.11)
(1),在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的; (2),平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例; (3),应力偏量分量与应变偏量分量成比例; (4),等效正应力与等效正应变成比例.
7.1 弹性本构关系
弹性应变比能
e
单位体积内的弹性应变能
1 1 3 1 ω = σijεij = (sij +σδij )(eij + εδij ) = σε + sij eij 2 2 2 2
(7.18)
σ1 σ2 σ2 σ3 σ3 σ1 = = = 2G′ ε1 ε2 ε2 ε3 ε3 ε1
设物体的体积是不可压缩的, 设物体的体积是不可压缩的,即ν=1/2
(7.19)
ε = 0,
G′ =